根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理,可知只需證明質數可以表示成四個整數的平方和即可。
,因此只需證明奇質數可以表示成四個整數的平方和。
根據引理一,奇質數 必有正倍數可以表示成四個整數的平方和。在這些倍數中,必存在一個最小的。設該數為 。又從引理一可知 。
證明 不會是偶數
設 是偶數,且 。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設 的奇偶性相同, 的奇偶性相同, 均為偶數,可得出公式:
,與 是最小的正整數使得的假設 可以表示成四個整數的平方和不符。
證明
現在用反證法證明 。設 。
- 不可整除 的最大公因數,否則 可整除 ,則得 是 的因數,但 且p為質數,矛盾。
故存在不全為零、絕對值小於 (注意 是奇數在此的重要性)整數的 使得 。
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可得 ,其中 是正整數且小於 。
- 下面證明 可以表示成四個整數的平方和,從而推翻假設。
令 ,根據四平方和恆等式可知 是 的倍數,令 ,
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矛盾。
引理一的證明
將和為 的剩餘兩個一組的分開,可得出 組,分別為 。
將模 的二次剩餘有 個,分別為 。
若 是模 的二次剩餘,選取 使得 ,則 ,定理得證。
若 不屬於模 的二次剩餘,則剩下 組,分別為 ,而模 的二次剩餘仍有 個,由於 ,根據抽屜原理,存在 。