圓錐曲線

一個正圓錐面和一個平面完整相切得到的曲線的總稱

圓錐曲線英語:conic section),又稱圓錐截痕圓錐截面二次平面曲線,是數學幾何學中透過平切圓錐(嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切)得到的曲線,包括橢圓拋物線雙曲線及一些退化類型。

圓錐曲線

圓錐曲線在約西元前200年時就已被命名與研究,其發現者為古希臘數學家阿波羅尼奧斯,當時阿波羅尼阿斯已對它們的性質做過系統性的研究。

圓錐曲線應用最廣泛的定義為(橢圓,拋物線,雙曲線的統一定義):動點到一定點(焦點)的距離與其到一定直線(準線)的距離之比為常數(離心率)的點的集合是圓錐曲線。對於得到橢圓,對於得到拋物線,對於得到雙曲線。

定義

 
有同一焦點   和同一準線   的:橢圓( =1/2)、拋物線( =1)、雙曲線( =2)。

 定點 為定直線 為正常數,稱滿足 的動點 的軌跡為圓錐曲線

其中 為其焦點 準線 離心率

由此可知,圓錐曲線的極坐標參數方程式  (正負號由所選焦點與定直線所處的位置不同而引起)。 其中  極軸夾角 為定直線 ,即準線到焦點的距離。

將參數方程式轉換成直角坐標方程式易得,

 時,曲線為拋物線
 時,
 時,曲線為橢圓
 時,曲線為雙曲線

圓錐曲線的類型

圓錐曲線 方程式 離心率e 焦距c 半正焦弦( 焦點準線距離(p
         
橢圓          
拋物線          
雙曲線          
 
圓錐曲線的類型:1.拋物線2.圓和橢圓3.雙曲線

橢圓:當平面只與圓錐面一側相交,交截線是閉合曲線的時候,且不過圓錐頂點,結果為橢圓。如果截面與圓錐面的對稱軸垂直,結果為圓。

拋物線:截面僅與圓錐面的一條母線平行,結果為拋物線。

雙曲線:截面與圓錐面兩側都相交,且不過圓錐頂點,結果為雙曲線。

在平面通過圓錐的頂點的時候,有一些退化情況。交截線可以是一個直線、一個點、或一對直線。

幾何性質

橢圓(ellipse)

橢圓上的點到兩個焦點的距離和等於長軸長(2a)。

拋物線(Parabola)

拋物線上的點到焦點的距離等於該點到準線的距離。

雙曲線(Hyperbola)

雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值等於貫軸長(2a)。

離心率

 
有固定焦點F和準線的圓(e=0) 橢圓(e=1/2)拋物線 (e=1)雙曲線(e=2)

對於橢圓和雙曲線,可以採用兩種焦點-準線組合,每個都給出同樣完整的橢圓或雙曲線。從中心到準線的距離是 ,這裡的 是橢圓的半長軸,或雙曲線的半貫軸。從中心到焦點的距離是 

在圓的情況下, 且準線被假想為離中心無限遠。這時聲稱圓由距離是到L的距離的e倍的所有點組成是沒有意義的。

圓錐曲線的離心率因此是對它偏離於圓的程度的度量。

對於一個給定的  越接近於1,半短軸就越小。

笛卡兒坐標

笛卡兒坐標系內,二元二次方程式的圖像可以表示圓錐曲線,並且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程式有如下形式

 
此處參數   不得皆等於 

矩陣表示

上述方程式可以使用矩陣表示爲[1]

 

亦可以寫作

 

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (參見齊次坐標)

下文中記 ,記 

類別

藉由 ,我們可以判定圓錐曲線是否退化。

  •  ,則圓錐曲線 退化。
  •  ,則圓錐曲線 未退化。

若圓錐曲線未發生退化,則[2]

  •  , 方程式表示一個橢圓
    • 對於橢圓,當 時, 爲一個實橢圓;當  爲一個虛橢圓。(例如, 沒有任何實值解,是一個虛橢圓)
    • 特別的,若   ,作爲橢圓的特殊情況, 表示一個
  •   表示一條拋物線
  •   表示一條雙曲線
    •   表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化,則

  •  ,作爲橢圓的退化, 爲一個點。
  •  ,作爲拋物線的退化, 爲兩條平行直線。
    •   爲兩條不重合的平行直線。
    •   爲兩條重合的平行直線。(特別的,此時 爲1)
    •   直線不存在與實平面中。
  •  ,作爲雙曲線的退化, 爲兩條相交直線。(同時,也是雙曲線的漸近線)

在此處的表達中,  爲多項式係數,而非半長軸 和半短軸 

不變量

矩陣  的行列式,以及  )在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。[2][3][4] [5]:60–62頁 常數項 以及 僅在旋轉中保持不變。[5]:60–62頁

離心率

 的離心率可被寫作關於 係數的函數。[6]  拋物線,其離心率爲1。其它情況下,假設 表達一個未退化的橢圓或雙曲線,那麼

 

此處若 爲負則 ;若 爲正則 

此外,離心率 也是下述方程式的一個正根[5]:89頁

 

此處   。對於橢圓或拋物線,該方程式只有一個正根,即其離心率;對於雙曲線,其有兩個正根,其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程式

對於橢圓或雙曲線, 可用變換後的變量 表示爲如下所示的標準形式[7]

 

或等價的

 

此處,   特徵值,也即下述方程式的兩根:

 

同時,  

透過座標變換,各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式:

方程式 橢圓 拋物線 雙曲線
標準方程式        
參數方程式        
 

極坐標

 
橢圓的半正焦弦

圓錐曲線的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示為 ,是從單一焦點或兩個焦點中的一個,到圓錐曲線自身的,沿著垂直於主軸(長軸)的直線度量的距離。它有關於半長軸 ,和半短軸 ,通過公式  

極坐標系中,圓錐曲線有一個焦點在原點,如果有另一個焦點的話它在正x軸上,給出自方程式

 

或者,

 

如上,對於 得到一個圓,對於 得到橢圓,對於 得到拋物線,對於 得到雙曲線。

齊次坐標

齊次坐標下圓錐曲線可以表示為:

 

或表示為矩陣

 

矩陣 叫做「圓錐曲線矩陣」。

 叫做圓錐曲線的行列式。如果 則這個圓錐曲線被稱為退化的,這意味著圓錐曲線是兩個直線的聯合(兩相交直線,兩平行直線或兩重合直線)或一點。。

例如,圓錐曲線 退化為兩相交直線: 

類似的,圓錐曲線有時退化為兩重合直線(兩直線重合成一條):  

 被稱為圓錐曲線的判別式。如果 則圓錐曲線是拋物線,如果 則是雙曲線,如果 則是橢圓。如果  ,圓錐曲線是;如果  ,它是直角雙曲線。可以證明在複射影平面 中,兩個圓錐曲線共有四個點(如果考慮重根),所以永不多於4個交點並總有1個交點(可能性:4個不同的交點,2個單一交點和1個雙重交點,2個雙重交點,1單一交點和1個三重交點,1個四重交點)。如果存在至少一個重根 的交點,則兩個圓錐曲線被稱為相切的。如果只有一個四重交點,兩個圓錐曲線被稱為是共振的。

進一步的,每個直線與每個圓錐曲線相交兩次。如果兩交點是重合成一點,則這個線被稱為切線。因為所有直線交圓錐曲線兩次,每個圓錐曲線有兩個點在無窮遠(與無窮遠線的交點)。如果這些點是實數的,圓錐曲線必定是雙曲線;如果它們是虛共軛,圓錐曲線必定是橢圓,如果圓錐曲線有雙重點在無窮遠,則它是拋物線。如果在無窮遠的點是  ,則圓錐曲線是。如果圓錐曲線有一個實數點和一個虛數點在無窮遠,或它有兩個不共軛的虛數點,它不是拋物線、不是橢圓、不是雙曲線。

參考文獻

  1. ^ Brannan, Esplen & Gray 1999,第30頁
  2. ^ 2.0 2.1 Protter & Morrey 1970,第326頁
  3. ^ Wilson & Tracey 1925,第153頁
  4. ^ Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
  6. ^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
  7. ^ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

外部連結