多值函數

多值函數（英語：multivalued function, multifunction）為一數學名詞，是一種二元關係。其中，定義域 $X$ 中的每一個元素都對應對應域 $Y$ 中的至少一個元素。

此名詞來源於複分析，例如復對數函數便是其中一例。函數原本的定義中不允許 $X$ 的元素對應多於一個 $Y$ 中的元素；但複分析中，為了作區分，將原來定義的函數稱為單值函數。

有些多值函數擁有主分支，而使得多值函數可以轉化為單值函數。此時該單值函數的值稱為主值（principal value）。

例子

每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
複對數函數是多值函數。 $\log(a+bi)$ （ $a$ 和 $b$ 為實數）的值是 $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ ，其中 $n$ 為任意整數。 .
反三角函數為週期性的多值函數，例如

\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.

因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：

π

/4, 5

π

/4, −3

π

/4等。若限制其tan x的定義域在−

π

/2 < x <

π

/2，此區域下tan x為單純遞增，則arctan(x)的值域會在−

π

/2 < y <

π

/2。這種限定區域下的值稱為主值（英語：Principal value）。

不定積分也可以視為是多值函數，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

所有的多值函數都是來自非單射的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有分支點（英語：branch point），例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

參考資料

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