多元常態分布

機率分布

多變量常態分布亦稱為多變量高斯分布。它是單維常態分布向多維的推廣。它同矩陣常態分布有緊密的聯繫。

多元常態分布
機率密度函數

Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).
記號
母數 μRN — 位置
ΣRN×N共變異數矩陣 (半正定)
值域 xμ+span(Σ) ⊆ RN
機率密度函數
(唯若 Σ正定矩陣時)
累積分布函數 解析表達式不存在
期望值 μ
眾數 μ
共變異數矩陣 Σ
動差母函數
特徵函數

一般形式

N維隨機向量 如果服從多變量常態分布,必須滿足下面的三個等價條件:

  1. 任何線性組合 服從常態分布
  2. 存在隨機向量 ( 它的每個元素服從獨立標準常態分布),向量   矩陣 滿足 .
  3. 存在 和一個對稱半正定陣 滿足 特徵函數
     

如果 非奇異的,那麼該分布可以由以下的機率密度函數來描述:[1]

 

注意這裡的 表示共變異數矩陣的行列式。

二元的情況

在二維非奇異的情況下(k = rank(Σ) = 2),向量 [X Y]′機率密度函數為:

 

其中 ρXY 之間的相關係數  。在這種情況下,

 

參考文獻