多重對數函數

多重對數函數（英語：polylogarithm，也稱：Jonquière's function）是數學中一種特殊的冪級數，定義為：

\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.

一般來說，多重對數函數不像對數函數那樣是一個初等函數。上述定義中，自變量|z| < 1，s對所有複數值有效。通過解析延拓，可以將z的定義域擴展到更大的範圍。

**複平面上幾種不同的多重對數函數**

$\operatorname {Li} _{-3}(z)$	$\operatorname {Li} _{-2}(z)$	$\operatorname {Li} _{-1}(z)$	$\operatorname {Li} _{0}(z)$	$\operatorname {Li} _{1}(z)$	$\operatorname {Li} _{2}(z)$	$\operatorname {Li} _{3}(z)$

s = 1時的多重對數函數可以用自然對數表示（Li₁(z) = −ln(1−z)），s = 2和3的多重對數函數分別稱為dilogarithm及trilogarithm，其名稱的由來是多重對數函數表示為以下的遞迴積分式：

\operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t.

因此s = 2的多重對數函數可表示為自然對數的積分，以此類推。若其階數s為零或負的整數，其多重對數函數為有理函數。

多重對數函數出現在費米-狄拉克分佈及玻色-愛因斯坦分佈解析解的積分式中，因此也稱為費米-狄拉克積分或玻色-愛因斯坦積分。

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