對數常態分布

在機率論與統計學中，任意隨機變數的對數服從常態分布,則這個隨機變數服從的分布稱為對數常態分布。如果 $Y$ 是常態分布的隨機變數，則 $\exp(Y)$（指數函數）為對數常態分布；同樣，如果 $X$ 是對數常態分布，則 $\ln X$為常態分布。 如果一個變量可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變量可以看作是對數常態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。 對於 $x>0$，對數常態分布的機率密度函數為

對數常態分布

機率密度函數 μ=0
累積分布函數 μ=0
母數	$\sigma \geq 0$ $-\infty \leq \mu \leq \infty$
值域	$x\in [0;+\infty )\!$
機率密度函數	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left[\ln(x)-\mu \right]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
累積分布函數	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$
期望值	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
中位數	$e^{\mu }$
眾數	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
變異數	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$
偏度	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$
峰度	$e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6$
熵	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
動差母函數	(參見原始動差文本)
特徵函數	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

其中 $\mu$ 與 $\sigma$ 分別是變量對數的平均值與標準差。它的期望值是

$\mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

變異數為

$\mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,$

給定期望值與變異數，也可以用這個關係求 $\mu$ 與 $\sigma$

$\mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),$

$\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).$

與幾何平均值和幾何標準差的關係

對數常態分布、幾何平均數與幾何標準差是相互關聯的。在這種情況下，幾何平均值等於 $\exp(\mu )$，幾何標準差等於 $\exp(\sigma )$。

如果採樣數據來自於對數常態分布，則幾何平均值與幾何標準差可以用於估計信賴區間，就像用算術平均數與標準差估計常態分布的信賴區間一樣。

信賴區間界	對數空間	幾何
3σ 下界	$\mu -3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$
2σ 下界	$\mu -2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
1σ 下界	$\mu -\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }$
1σ 上界	$\mu +\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }$
2σ 上界	$\mu +2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
3σ 上界	$\mu +3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$

其中幾何平均數 $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$，幾何標準差 $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

動差

原始動差為：

$\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}$

或者更為一般的動差

$\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.$

局部期望值

隨機變數 $X$ 在閾值 $k$ 上的局部期望值定義為

$g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx$

其中 $f(x)$ 是機率密度。對於對數常態機率密度，這個定義可以表示為

$g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)$

其中 $\Phi$ 是標準常態部分的累積分布函數。對數常態分布的局部期望值在保險業及經濟領域都有應用，著名的Black-Scholes期權定價公式便可由此推導出。

母數的最大概似估計

為了確定對數常態分布母數 $\mu$ 與 $\sigma$ 的最大概似估計，我們可以採用與常態分布母數最大概似估計同樣的方法。我們來看

$f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )$

其中用 $f_{L}(\cdot )$ 表示對數常態分布的機率密度函數，用 $f_{N}(\cdot )$— 表示常態分布。因此，用與常態分布同樣的指數，我們可以得到對數最大概似函數：

${\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}$

由於第一項相對於 $\mu$ 與 $\sigma$ 來說是常數，兩個對數最大概似函數 $\ell _{L}$ 與 $\ell _{N}$ 在同樣的 $\mu$ 與 $\sigma$ 處有最大值。因此，根據常態分布最大概似母數估計器的公式以及上面的方程式，我們可以推導出對數常態分布母數的最大概似估計

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.$

相關分布

• 如果 $Y=\ln(X)$ 與 $X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})$，則 $Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ 是常態分布。
• 如果 $X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ 是有同樣 $\mu$ 母數、而 $\sigma$ 可能不同的統計獨立對數常態分布變量 ，並且 $Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}$，則 $Y$ 也是對數常態分布變量：$Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)$。

進一步的閱讀資料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

參考文獻

• 對數常態分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 對數常態分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 對數常態分布 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

參見

• 幾何平均數
• 幾何標準差
• 誤差函數