小角度近似

小角度近似(small-angle approximations)可以在角度以弧度表示,且角度很小的情形下,近似部份三角函數的值:

x → 0時一些三角函數的近似值

上述的近似常用在物理學工程學的各分支學科中,包括力學電磁學光學地圖學天文學計算機科學[1][2]。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算,可以用在不需要精確解的情形下。

小角度近似可以用許多的方式說明,最直接的是用三角函數的馬克勞林級數,依照逼近的階數英語Order of approximation不同,可以近似為.[3]

理由

繪圖

圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時,原始函數和近似函數的差也趨近零。

幾何學

 

右圖中紅色部份d,是斜邊長度H和鄰邊長度A的差。如圖所示,HA幾乎一樣長,意思是cos θ接近1,利用θ2/2可以減去紅色的部份

 

其對邊O長度近似於藍色圓弧的長度s。根據幾何學,s = ,根據三角函數,sin θ = O/Htan θ = O/A,根據圖上OsHA可得:

 

簡化後可得

 

微積分

利用夾擠定理[4],可以證明  這是在小角度θ時, 近似式的正式敘述。


比較小心的應用夾擠定理可得  ,因此可以得到在小角度θ時, 

最後,利用洛必達法則可得 可以整理為 ,在小角度θ時成立。也可以用倍角公式 。令 ,可得 

代數

 
正弦函數的小角度近似

將正弦函數進行馬克勞林展開(在零附近的泰勒展開)可得[5]

 

其中θ是以弧度表示的角度,上式也可以改寫如下:

 

可以看出在θ很小時,第二項(三次方項)會非常小。用θ為0.01為例,第二項的數量級為第一項的 0.0000011/10000。因此可以單純的近似為:

 

另外,因為小角度的餘弦函數接近1,因此正切函數(正弦函數除以餘弦函數)可以表示如下

 ,

近似的誤差

 
圖3:小角度近似的逼近誤差

圖3是小角度近似的誤差,若以誤差在1%為準,以下是各近似函數誤差超過1%的角度:

  • cos θ ≈ 1,約為 0.1408 弧度 (8.07°)
  • tan θθ,約為 0.1730 弧度 (9.91°)
  • sin θθ,約為 0.2441 弧度 (13.99°)
  • cos θ ≈ 1 − θ2/2,約為 0.6620 弧度 (37.93°)

和角和差角

三角恆等式中的和角公式和差角公式,當其中一個角度很小時(β ≈ 0),可以簡化為下式:

cos(α + β) ≈ cos(α) − β sin(α),
cos(αβ) ≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β) ≈ sin(α) + β cos(α),
sin(αβ) ≈ sin(α) − β cos(α).

應用

天文學

天文學上,天體的角直徑多半只有幾個角秒,其角度很小,因此可以用小角度近似[6]。線性大小(D)和角直徑(X)以及與觀察者距離(d)之間有以下的公式:

 

其中X是用角秒表示。

數字206265是圓用角秒表示的值(1296000),除以

精確的公式是

 

tan X改為X,上式也適用。

擺的運動

在計算勢能時,二次餘弦近似非常的好用,可以應用在拉格朗日力學上,找到運動的間接方程(能量方程)。

在計算擺的頻率時,可以用正弦函數的小角度近近,將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。

光學

在光學上,小角度近似是近軸近似的基礎。

波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗衍射光柵中,以簡化計算[7]

結構力學

小角度近似常用在結構力學上,特別是和穩定性和分岔分析上(主要是軸向受壓力的柱,是否會產生挫曲的分析)。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。

導航

空中導航英語air navigation中的1 in 60 rule英語1 in 60 rule就是以小角度近似為基礎,加上一個弧度近似於60度的事實。

內插

小角度的和角和差角公式可以在三角函數表插值

例如:sin(0.755)

sin(0.755) = sin(0.75 + 0.005)
≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317) [sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得]
≈ 0.6853.

相關條目

參考資料

  1. ^ Holbrow, Charles H.; et al, Modern Introductory Physics 2nd, Springer Science & Business Media: 30–32, 2010 [2021-06-12], ISBN 0387790799, (原始內容存檔於2021-08-04). 
  2. ^ Plesha, Michael; et al, Engineering Mechanics: Statics and Dynamics 2nd, McGraw-Hill Higher Education: 12, 2012 [2021-06-12], ISBN 0077570618, (原始內容存檔於2021-08-04). 
  3. ^ Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki. brilliant.org. [2020-07-22]. (原始內容存檔於2020-07-22) (美國英語). 
  4. ^ Larson, Ron; et al, Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions 4th, Cengage Learning: 85, 2006 [2021-06-12], ISBN 0618606254, (原始內容存檔於2021-08-04). 
  5. ^ Boas, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. 2006: 26. ISBN 978-0-471-19826-0. 
  6. ^ Green, Robin M., Spherical Astronomy, Cambridge University Press: 19, 1985 [2021-06-12], ISBN 0521317797, (原始內容存檔於2021-08-04). 
  7. ^ 存档副本. [2021-06-12]. (原始內容存檔於2021-08-04).