巴拿赫不動點定理

巴拿赫不動點定理,又稱為壓縮映射定理壓縮映射原理,是度量空間理論的一個重要工具。它保證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性和唯一性,並提供了求出這些不動點的構造性方法。這個定理是以斯特凡·巴拿赫命名的,他在1922年提出了這個定理。

定理

設(X, d)為非空的完備度量空間。設T : XXX上的一個壓縮映射,也就是說,存在一個非負的實數q < 1,使得對於所有X內的xy,都有:

 

那麼映射TX內有且只有一個不動點x*(這就是說,Tx* = x*)。更進一步,這個不動點可以用以下的方法來求出:從X內的任意一個元素x0開始,定義一個迭代序列xn = Txn-1,其中n = 1,2,3,……。那麼,這個序列收斂,極限x*。以下的不等式描述了收斂的速率:

 

等價地:

 

 

滿足以上不等式的最小的q有時稱為利普希茨常數

注意對於所有不同的xy都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求,一般來說是不足以保證不動點的存在的,例如映射T : [1,∞) → [1,∞),T(x) = x + 1/x,就沒有不動點。但是,如果空間X的,則這個較弱的假設也能保證不動點的存在。

當實際應用這個定理時,最艱難的部分通常是如何恰當地定義X,使T把元素從X映射到X,即Tx總是X的一個元素。

證明

選擇任何 。如果 ,則不必證明;以下設 。對於每一個 ,定義 。我們聲稱對於所有的 ,以下等式都成立:

 

我們用數學歸納法來證明。對於 的情況,命題是成立的,這是因為:

 

假設命題對於某個 是成立的。那麼,我們有:

   
 
 
 
 

從第三行到第四行,我們用到了歸納假設。根據數學歸納法原理,對於所有的 ,以上的命題都成立。

 。由於 ,我們便可以找出一個較大的 ,使得:

 

利用以上的命題,我們便有對於任何  以及 ,都有:

   
 
 
 
 
 
 
 

第一行的不等式可以從三角不等式推出;第四行的級數是一個幾何級數,其中 ,因此它收斂。以上表明  內的一個柯西序列,所以根據完備性,它是收斂的。因此設 。我們作出兩個聲明:第一,  的一個不動點,也就是說, ;第二,   中的唯一的不動點。

為了證明第一個命題,我們注意到對於任何的 ,都有:

 

由於當 時, ,因此根據夾擠定理,可知 。這表明當 時, 。但當 時, ,且極限是唯一的;因此,一定是 的情況。

為了證明第二個命題,我們假設 也滿足 。那麼:

 

由於 ,因此上式意味著 ,這表明 ,於是根據正定性 ,定理得證。

逆定理

巴拿赫不動點定理有許多逆定理,以下的一個是Czesław Bessaga在1959年發現的:

 為一個抽象集合的映射,使得每一個迭代f n都有一個唯一的不動點。設q為一個實數,0 < q < 1。那麼存在X上的一個完備度量,使得f是壓縮映射,且q是壓縮常數。

推廣

一個有趣的事實是,若把某國的地圖縮小後印在該國領土內部,那麼在地圖上有且僅有這樣一個點,它在地圖中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。證明如下:

  • 為了方便起見,這裡把地球近似看作是正球體。
  • 首先,按照經緯度可以給地球表面上每一個點標出坐標 (x, y),其中前元是經度、後元是緯度。又定義地面上任意兩點間的距離 d(A, B) 是 A 到 B 間大圓弧的弧長
  • 其次,把這國家的地圖上的點按照其所代表點的實際經緯度標出坐標 (u, v)。
  • 那麼對於地圖上任意一點 P 而言,它既在地圖上表示地點 (up, vp),又實際在地面上占有點 (xp, yp)。顯然,這構成了從集合 S={P|P 是地面上的點且 P 屬於該國領土} 到其本身的映射,現記作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。
  • 又因為地圖是縮小的,即對於任意兩個地點 A∈S、B∈S 而言,d(A, B)>d(M(A), M(B)),也即 M(P) 是一個壓縮映射
  • 事實上,取實數 k>1 作為地圖比例尺的分母、即 1:k,那麼由比例尺的定義知 d(A, B)=kd(M(A), M(B)),兩邊同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。換言之,存在實數 q=1/k<1 滿足對於 S 內所有的 A 和 B,d(M(A), M(B))≤qd(A, B),這裡等號總是成立。
  • 現在將 S 視為以 d 為度量的空間,那麼它顯然是一個完備度量空間。
  • 根據巴拿赫不動點定理,M 在 S 內有且僅有一個不動點,即該點恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

關於巴拿赫不動點定理的推廣,請參見無窮維空間中的不動點定理

參考文獻