布勞威爾不動點定理

在數學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石。布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（荷蘭語：L. E. J. Brouwer）。

1886年，亨利·龐加萊證明了與布勞威爾不動點定理等價的一個定理。定理在三維空間情況下的確切敘述由皮耶·波爾在1904年證明，而一般情況下的定理有雅克·阿達馬在1910年證明。魯伊茲·布勞威爾在1912年提出了一個新的證明方法。

布勞威爾不動點定理說明：對於一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數$f$，存在一個點$x_{0}$，使得$f(x_{0})=x_{0}$。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤$D$射到它自身的函數$f$。而更為廣義的定理則對於所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立。

關於不動點的定理很多，但布勞威爾不動點定理是最著名的不動點定理之一，因為它在不少領域中都有應用。 在最初的領域中，這個結果與若爾當曲線定理、毛球定理和博蘇克－烏拉姆定理一樣，是少數刻畫歐幾里得空間之拓撲性質的關鍵定理之一。因此，布勞威爾定理在拓撲學中也有重要的地位。這個定理也被應用於證明各種微分方程的深入結果中，在大部分的微分幾何課程中都可以見到對這個定理的介紹。即使在看上去與這個定理沒有什麼關係的領域，例如博弈論中，也能見到布勞威爾定理的應用。在經濟學中，布勞威爾不動點定理以及其推廣：角谷靜夫定理在證明經濟學市場中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。後者是由諾貝爾獎獲得者吉拉德·德布魯和肯尼斯·阿羅在二十世紀五十年代發展起來的。

最初研究這個定理的是專研微分方程的以亨利·龐加萊和皮卡為首的法國數學家，因為在證明類似龐加萊-本迪克松定理時需要用到拓撲學的方法。19世紀末期，這個定理的各種類似的版本。一般性的定理是由法國數學家雅克·阿達馬在1910年證明的，1912年，魯伊茲·布勞威爾給出了一個新的證明。

歷史

布勞威爾不動點定理是代數拓撲的早期成就，還是更多更一般的不動點定理的基礎，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 證明n = 3 的情況（發表於《純綷及應用數學期刊》之內）。後來在1909年，魯伊茲·布勞威爾（L. E. J. Brouwer）再次證明。在1910年，雅克·阿達馬提供一般情況的證明，而布勞威爾在1912年提出另一個不同的證明。這些早期的證明皆屬於非構造性的間接證明，與數學直覺主義理想矛盾。現在已知如何構造（接近）由布勞威爾不動點定理所保證的不動點，見例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

敘述

布勞威爾不動點定理有若干種不同的敘述方式，與使用時的上下文有關。

最簡單的形式如下：

平面上：每一個從某個給定的閉圓盤射到它自身的連續函數$f$都有至少一個不動點。

推廣到任意有限維數的情況，就是：

歐幾里得空間中：每一個從某個給定的閉球射到它自己的連續函數都有（至少）一個不動點

一個稍微更一般化的結論是：

每一個從一個歐幾里得空間的某個給定的凸緊子集射到它自身的連續函數都有（至少）一個不動點。

而更加著名的是一個還要更一般化的定理：

Schauder不動點定理：每一個從一個巴拿赫空間的某個給定的凸緊子集射到它自身的連續函數都有（至少）一個不動點。

例子

這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的坐標系以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那麼第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。一個更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團（不撕裂），放在原來白紙所在的地方，那麼只要它不超出原來白紙平鋪時的邊界，那麼白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過。

這個斷言的根據就是布勞威爾不動點定理在二維歐幾里得空間（歐幾里得平面）的情況，因為把紙揉皺是一個連續的變換過程。

另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有「您在此處」的紅點。如果標註足夠精確，那麼這個點就是把實際地形射到地圖的連續函數的不動點。

三維空間中的情況：如果我們用一個密封的鍋子煮水，那麼總有一個水分子在煮開前的某一刻和煮開後的某一刻處於同樣的位置。

地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中是不變的，也就是自轉運動的不動點。

參見

• 不動點定理
• 博蘇克-烏拉姆定理

參考資料

• Sobolev, V. I., Brouwer theorem, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Gale, D. The Game of Hex and Brouwer Fixed-Point Theorem. The American Mathematical Monthly. 1979, 86: 818–827. doi:10.2307/2320146. 
• Morris W. Hirsch, "Differential Topology", Springer, 1980 (see p. 72-73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
• S. Karamadian (ed.), Fixed points. Algorithms and applications, Academic Press, 1977
• V.I. Istrăţescu, Fixed point theory, Reidel, 1981

外部連結

• Brouwer's Fixed Point Theorem for Triangles （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• Brouwer theorem, from PlanetMath with attached proof.
• Reconstructing Brouwer at MathPages