布爾不等式

機率論公式

布爾不等式(英語:Boole's inequality),由喬治·布爾提出,指對於全部事件機率不大於單個事件的機率總和。

對於事件A1、A2、A3、......:

測度論上,布爾不等式滿足σ次可加性

證明

布爾不等式可以用數學歸納法證明。

對於1個事件:

 

對於n個事件:

 
 
 
 
 
 .

使用馬可夫不等式的證明

 是任意機率事件 是各種事件 的發生次數的隨機變數。顯然有:

 

因為 是非負隨機變數,應用馬可夫不等式,取 ,有:

 

注意到 

邦佛洛尼不等式

布爾不等式可以推導出事件聯集上界下界,其關係稱為邦佛洛尼不等式

定義:

 
 
 

對於奇數k:

 

對於偶數k:

 

參見

參考資料