常數函數

在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數$f(x)=4$，因為$f$映射任意的值到4，因此$f$是一個常數。更一般地，對一個函數$f:A\rightarrow B$，如果對$A$內所有的$x$和$y$，都有$f(x)=f(y)$，那麼，$f$是一個常數函數。其中$f(x)=0$的常數函數稱為零函數，圖形為x軸；值不為零的常數函數則可稱為零次函數，圖形為一平行x軸的水平線。

請注意，每一個空函數（定義域為空集的函數）無意義地滿足上述定義，因為$A$中沒有$x$和$y$使$f(x)$和$f(y)$不同。然而有些人認為，如果包括空函數的話，那麼常數函數將更容易定義。

對於多項式函數，一個非零常數函數稱為一個零次多項式，而零函數對應只能叫零多項式。

性質

常數函數可以通過與複合函數的關係，從兩個途徑進行描述。

下面這些是等價的：

1. $f:A\rightarrow B$是一個常數函數。
2. 對所有函數$g,h:C\to A,f\circ g=f\circ h$（「$\circ$」表示複合函數）。
3. $f$與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。

上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義，一個函數的導函數度量自變數的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的導函數是零。例如：

• 如果$f$是一個定義在某一區間、變量為實數的實數函數，那麼若且唯若$f$的導函數恆為零時，$f$是常數。

對預序集合間的函數，常數函數是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如$f$的定義域是一個格，那麼$f$一定是一個常數函數。

常數函數的其他性質包括：

• 任一定義域和對應域相同的常數函數是等冪的。
• 任一拓撲空間上的常數是連續的。

在一個連通集合中，若且唯若f是常數時，它是局部常數。

參見

• 代數式
• 因式分解

參考文獻

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., 範疇論（Category Theory）, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
• 常数函数（Constant function）. PlanetMath.