聯集公理

在公理化集合論和使用它的邏輯、數學和計算機科學分支中，聯集公理是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。它聲稱對於任何集合$A$有一個集合$B$，$B$的元素正是$A$的元素的元素。

形式陳述

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中，這個公理讀做：

$\forall A,\exists B,\forall x:x\in B\iff (\exists y:x\in y\land y\in A)$

換句話說：

給定任何集合$A$，有著一個集合$B$使得，給定任何集合$x$，$x$是$B$的成員，若且唯若有一個集合$y$使得$x$是$y$的成員並且$y$是$A$的成員。

解釋

因此，這個公理實際上說的是，給定集合$A$，我們可以找到一個集合$B$，它的成員正是$A$的成員的成員。通過外延公理可知這個集合$B$是唯一的，它叫做$A$的聯集，並指示為$\cup A$，所以這個公理的本質是：

一個集合的聯集是一個集合。

配對公理與聯集公理一起蘊涵了對於任何兩個集合，都有一個集合精確地包含了這兩個集合的元素。樸素集合論中兩個集合的聯集在這裡是這兩個集合的配對集合的聯集，比如集合$\{a\}$和集合$\{b\}$，它們的對是$\{\{a\},\{b\}\}$，這個對的聯集是$\{a,b\}$。

聯集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。

注意沒有對應的交集公理：$\forall A,\exists B,\forall x:x\in B\iff (\forall y:y\in A\rightarrow x\in y)$。如果$A$是非空集合，則我們可以使用分類公理模式形成交集 ∩A 為 $\{x:\forall y(y\in A\rightarrow x\in y)\}$，所以不需要單獨的交集公理。（如果$A$是空集，則嘗試如此形成$A$的交集為不被這些公理所允許，如果這樣的集合存在，它將包含全集中所有的集合，而全集的概念對立於 Zermelo-Fraenkel 集合論。）

引用

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.