廣義正交群

數學上,廣義正交群或稱偽正交群不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q維實向量空間上的符號為 (p,q)的非退化對稱雙線性形式線性變換組成的李群。這個群的維數是n(n−1)/2。

廣義特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式為1的元素構成的子群

度量的符號(pq分別為正負特徵值的個數)在同構的意義下決定該群;交換pq相當於度量改變慣性指數,所以給出同樣的群。如果pq等於0,那麼同構於普通正交群O(n)。我們假設下文中pq均是正整數。

群O(p,q)定義在向量空間上。對於空間,所有群O(p,q; C)都同構於通常正交群O(p + q; C),因為複共軛變換能改變二次型的慣性指數。

矩陣定義

和經典正交群O(n)一樣,O(p,q)能表示為矩陣群。Rp,q上由對角矩陣給出標準內積:

 

作為二次型, 

群O(p,q)是由n×n矩陣M(這裡n = p+q)使得 。,或作為雙線性形式 組成的群。

這裡MT表示矩陣M的轉秩。容易驗證所有這樣的矩陣構成一個群。M的逆滿足

 

我們得到一個同構群。事實上將η換成任意p個正特徵值q個負特徵值的對稱矩陣(這樣的矩陣必是非奇異的),等價的,任何符號為 (p,q)的二次型。對角化這個矩陣給出此群共軛於標準群O(p,q)。

拓撲

O(p,q)和SO(p,q)都不是連通的,分別有4個和2個分支 克萊因四元群,每個分支保持或改變p維正定或q維負定子空間的定向。特殊正交群有分支 ,同時保持或同時改變兩個定向。

O(p,q)的單位分支常記作SO+(p,q),能和SO(p,q)中同時保持兩個定向的元素的集合等價起來。

群O(p,q)也不是,但包含緊子群O(p)和O(q),分別作用在兩個確定子空間上。事實上,O(p)×O(q)是O(p,q)的極大緊子群。而 是SO(p,q)的極大緊子群。同樣,SO(p)×SO(q)是SO+(p, q)的極大緊子群。從而在同論的意義上來說,這些群是(特殊)正交群的積,這樣代數拓撲不變量都可以計算出來。

特別的,SO+(p, q)的基本群是分支基本群的乘積, ,由下表給出:

       
  {1}    
       
       

參考文獻

  • Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) 335頁。

參見