庫拉托夫斯基十四集問題

點集拓撲學中,庫拉托夫斯基十四集問題敘述是:給定拓樸空間的子集,對做任意有限次數的取補集閉包,最多可以得到幾個不同的集合?

本問題又被稱作閉包補集問題,庫拉托夫斯基於1922年提出,並給出了解答 14[1]約翰·L·凱利撰寫的拓樸學經典教科書 General Topology 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題[2],使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。

證明

對所有子集 ,將 補集記為 閉包記為 ,則有以下 3 件事實

  1.   (取補集是對合的)
  2.   (取閉包是冪等的)
  3.   (或等價的 ,等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知,只需要考慮以下兩個序列就足夠了

  

再由 3. 知,最多只會有 14 個相異集合。

若對 取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合,則稱 是個 14-集。事實上,實數空間  與一般實數上的拓樸,形成的拓樸空間就有包含 14-集,例如

 

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表開區間閉區間

其他結果

1962 年 T.A. Chapman 發現,對 做任意有限次數的取內部閉包,則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

  

其中, 代表 的內部。

代數結構

雖然問題是屬於點集拓樸學,但是出乎意料的,它的性質卻比較代數,而非拓樸。1960 年代,類似概念的問題不斷被提出,然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了[3]

此外,取閉集或補集的運算定義了一個么半群,可以用來對不同拓樸空間做分類[4]

參考資料

  1. ^ Kuratowski, Kazimierz. Sur l'operation A de l'Analysis Situs (PDF). Fundamenta Mathematicae (Warsaw: Polish Academy of Sciences). 1922, 3: 182–199 [2019-01-29]. ISSN 0016-2736. (原始內容存檔 (PDF)於2018-07-20). 
  2. ^ Kelley, John. General Topology. Van Nostrand. 1955: 57. ISBN 0-387-90125-6. 
  3. ^ Hammer, P. C. Kuratowski's Closure Theorem. Nieuw Archief voor Wiskunde (Royal Dutch Mathematical Society). 1960, 8: 74–80. ISSN 0028-9825. 
  4. ^ Schwiebert, Ryan. The radical-annihilator monoid of a ring. doi:10.1080/00927872.2016.1222401. 

外部連結