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廣義相對論

物理理論
關於本條目避免深奧術語、較容易理解的版本，請見「廣義相對論入門」。

廣義相對論（英語：General Relativity）是現代物理中基於相對性原理利用幾何語言描述的重力理論。該理論由阿爾伯特·愛因斯坦等人自1907年開始發展，最終在1915年基本完成。[1]廣義相對論將古典的牛頓萬有引力定律與狹義相對論加以推廣。在廣義相對論中，重力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率），而時空的曲率則通過愛因斯坦場方程式和處於其中的物質及輻射的能量與動量聯繫在一起。

在室女A星系中心的黑洞，此為人類首次觀測並得到確認的黑洞影像

從廣義相對論得到的部分預言和古典物理中的對應預言非常不同，尤其是有關時間流易、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如重力場內的時間膨脹、光的重力紅移和重力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——廣義相對論雖然並非當今描述重力的唯一理論，但卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過仍然有一些問題至今未能解決。最為基礎的即是廣義相對論和量子物理的定律應如何統一以形成完備並且自洽的量子重力理論。

愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用。比如它預言了某些大質量恆星終結後，會形成時空極度扭曲以至於所有物質（包括光）都無法逸出的區域，黑洞。有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在重力場中的偏折會形成重力透鏡現象，這使得人們可能觀察到處於遙遠位置的同一個天體形成的多個像。廣義相對論還預言了重力波的存在。重力波已經由雷射干涉重力波天文台在2015年9月直接觀測到。此外，廣義相對論還是現代宇宙學中的膨脹宇宙模型（英語：Metric expansion of space）的理論基礎。

歷史

主條目：廣義相對論的替代理論
 
愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁

1905年愛因斯坦發表狹義相對論後，他開始著眼於如何將重力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者的理想實驗為出發點，他從1907年開始了長達八年的對重力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後，他於1915年11月在普魯士科學院上作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦重力場方程式。這個方程式描述了處於時空中的物質是如何影響其周圍的時空幾何，並成為了愛因斯坦的廣義相對論的核心[2]。

愛因斯坦的重力場方程式是一個二階非線性偏微分方程式組，在數學上想要求得其方程式的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多近似方法，從重力場方程式得出了很多最初的預言。不過很快天才的天體物理學家卡爾·史瓦西就在1916年得到了重力場方程式的第一個非平庸精確解——史瓦西度規，這個解是研究星體重力塌縮的最終階段，即黑洞的理論基礎。在同一年，將史瓦西幾何擴展到帶有電荷的質量的研究工作也開始進行，其最終結果就是萊斯納-諾斯特朗姆度規，其對應的是帶電荷的靜態黑洞[3]。1917年愛因斯坦將廣義相對論理論應用於整個宇宙，開創了相對論宇宙學的研究領域。考慮到同時期的宇宙學研究中靜態宇宙的學說仍廣獲接受，愛因斯坦在他的重力場方程式中添加了一個新的常數，後被人們稱為宇宙常數項，以求得和當時的「觀測」相符合[4]。然而到了1929年，哈伯等人的觀測表明我們的宇宙處在膨脹狀態，而相應的膨脹宇宙解早在1922年就已經由亞歷山大·傅里德曼從他的傅里德曼方程式（同樣由愛因斯坦重力場方程式推出）得到，這個膨脹宇宙解不需要任何附加的宇宙常數項。比利時神父勒梅特應用這些解構造了宇宙大爆炸的最早模型，模型預言宇宙是從一個高溫高緻密狀態演化來的[5]。愛因斯坦其後承認，添加宇宙常數項在方程式裡是他一生中犯下的最大錯誤[6]。

在那個時代，廣義相對論被視為一種古怪的異論，但由於它和狹義相對論相融，並能夠解釋很多牛頓重力無法解釋的現象，因此它很明顯優於牛頓理論。愛因斯坦本人在1915年證明了廣義相對論能夠解釋水星軌道的反常近日點進動現象，其過程不需要任何附加參數（所謂「敷衍因子（英語：Fudge factor）」）[7]。另一個著名的實驗驗證是由亞瑟·愛丁頓爵士率領的探險隊在非洲的普林西比島觀測到的日食時的光線在太陽重力場中的偏折[8]，其偏折角度和廣義相對論的預言完全相符（是牛頓理論預言的偏折角的兩倍），這一發現隨後為全球報紙所競相報導，一時間使愛因斯坦的理論名聲赫赫[9]。但是直到1960年至1975年間，廣義相對論才真正進入了理論物理和天體物理主流研究的視野，這一時期被人們稱作廣義相對論的黃金時代。物理學家逐漸理解了黑洞的概念，並能夠通過天體物理學的性質從類星體中識別黑洞[10]。在太陽系內能夠進行的更精確的廣義相對論的實驗驗證進一步展示了廣義相對論非凡的預言能力[11]，而相對論宇宙學的預言也同樣經受住了實驗觀測的檢驗[12]。

從古典力學到廣義相對論

理解廣義相對論的最佳方法之一是從古典力學出發比較兩者的異同點：這種方法首先需要認識到古典力學和牛頓重力也可以用幾何語言來描述，而將這種幾何描述和狹義相對論的基本原理放在一起對理解廣義相對論具有啟發性作用[13]。

牛頓重力的幾何學

古典力學的一個基本原理是：任何一個物體的運動都可看作是一個不受任何外力的自由運動（慣性運動）和一個偏離於這種自由運動的組合。這種偏離來自於施加在物體上的外力作用，其大小和方向遵循牛頓第二運動定律（外力大小等於物體的慣性質量乘以加速度，方向與加速度方向相同[14]）。而慣性運動與時空的幾何性質直接相關：古典力學中在標準參考系下的慣性運動是勻速直線運動。用廣義相對論的語言說，慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑（測地線），在閔考斯基時空中是直的世界線[15]。

 
小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），處在其中的觀察者會認為這兩種情形下小球的運動軌跡沒有什麼區別

反過來，原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用（如附加的電磁力或摩擦力等）來判斷物體的慣性運動性質，從而用來定義物體所處的時空幾何。不過，當有重力存在時這種方法會產生一些含糊不清之處：牛頓萬有引力定律以及多個彼此獨立驗證的相關實驗表明，自由落體具有一個普遍性（這也被人們稱作弱等效原理，亦即慣性質量與重力質量等價），即任何測試質量的自由落體的軌跡只和它的初始位置和速度有關，與構成測試質量的材質等無關[16]。

這一性質的一個簡化版本可以通過愛因斯坦的理想實驗來說明，如右圖所示：對於一個處在狹小的封閉空間中的觀察者而言，無法通過觀測落下小球的運動軌跡來判斷自己是處於地面上的地球重力場中，還是處於一艘無重力作用但正在加速的火箭裡（加速度等於地球重力場的重力加速度）[17]；而作為對比，處於電磁場中的帶電小球運動和加速參考系中的小球運動則是可以通過不同小球攜帶不同的電量來區分的。而由於重力場在空間中存在分布的變化，弱等效原理需要加上局域的條件，即在足夠小的時空區域內重力場中的自由落體運動和均一加速參考系中的慣性運動是完全相同的[18]。

由於自由落體的普遍性，慣性運動（實驗中的火箭內）和在重力場中的運動（實驗中的地面上）是無法通過觀察來區分的。這是在暗示一類新的慣性運動的定義，即在重力作用下的自由落體也屬於慣性運動[19]。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何：從數學來看，重力場中慣性運動的軌跡是彎曲時空的測地線，彎曲時空代表了重力對於物體的軌跡所產生的效應[20]。

相對論的概括

 
光錐

牛頓重力的幾何理論儘管看上去很有趣，但這一理論的基礎古典力學不過是（狹義）相對論力學的一個特例[21]。用對稱的語言來說，在不考慮重力的情形下物理學具有勞侖茲不變性，而並非古典力學所具有的伽利略不變性。(狹義相對論的對稱性包含在龐加萊群中，它除了包含有勞侖茲變換所包含的勞侖茲遞升和旋轉外還包含平移不變性。)在研究對象的速度接近光速或者高能的情形下這兩者的區別逐漸變得明顯[22]。

在勞侖茲對稱性下可以引入光錐的概念（見左圖），光錐構成了狹義相對論中的因果結構：對於每一個發生在時空中的事件A，原則上有能夠通過傳播速度小於光速的信號或交互作用影響到事件A或被事件A影響的一組事件（具有因果聯繫），例如圖中的事件B；也有一組不可能互相影響的事件（不具有因果聯繫），例如圖中的事件C；而這些事件間有無因果聯繫都與觀測者無關[23]。將光錐和自由落體的世界線聯繫起來可以導出時空的半黎曼度規，至少準確至一個正值純量因子，在數學上這是共形結構的定義[24]。

狹義相對論的建立改變了人們對質量唯一性的觀念：質量不過是系統能量和動量的一種表現形式，這使得愛因斯坦著手將弱等效原理納入一個更廣泛的框架中：處於封閉空間中的觀察者無論採用什麼測量方法（而不僅限於投擲小球）都無法區分自己是處於重力場還是加速參考系中。這種概括成為了著名的愛因斯坦等效原理：在足夠小的時空區域中物理定律約化成狹義相對論中的形式；而不可能通過局域的實驗來探測到周圍重力場的存在。[25]狹義相對論是建立於重力可以被忽略的前提，因此，對於重力可以被忽略的實際案例，這是一個合適的模型。如果考慮重力的存在並假設愛因斯坦等效原理成立，則可知宇宙間不存在全域的慣性系，而只存在跟隨著自由落體的粒子一起運動的局域近似慣性系。用時空彎曲的語言來說，在無重力作用的慣性系裡的幾條筆直類時世界線，在實際時空中會變得彼此相互彎曲，這意味著重力的引入會改變時空的幾何結構[26]。

實驗數據表明，處於重力場中的時鐘測量出的時間——或者用相對論的語言稱為原時——並不服從狹義相對論定律的制約。用時空幾何的語言來說，這是由於所測量的時空並非閔考斯基度規。對於牛頓重力理論而言這暗示著一種更一般的幾何學。在微小尺度上所有處於自由落體狀態的參考系都是等效的，並且都可近似為閔考斯基性質的平直度規。而接下來我們正在處理的是對閔考斯基時空的彎曲化的一般性概括，所用到的度規張量定義的所在的時空幾何——具體說來是時空中的長度和角度是如何測量的——並不是狹義相對論的閔考斯基度規，這廣義化的度規被人們稱作半黎曼度規或偽黎曼度規。[27]並且每一種黎曼度規都自然地與一種特別的聯絡相關聯，這種聯絡被人們稱為列維-奇維塔聯絡；事實上這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局域的閔考斯基性（這是指在一個適合的局域慣性坐標系下度規是閔考斯基性的，其度規的導數和連接係數即克里斯托費爾符號都為零。）[28]。

愛因斯坦方程式

主條目：愛因斯坦重力場方程式和廣義相對論中的數學

在建立了描述重力效應的相對論性幾何化版本後，還有一個關於重力的起源問題沒有解決。在牛頓理論中，重力來源於質量，而在狹義相對論中，質量的概念被包含在更具有一般性的能量-動量張量中。這個張量包含了對系統的能量和動量的密度，以及應力（即壓力和切應力的統稱）的描述[29]，通過等效原理就可以將能量-動量張量概括到彎曲的時空幾何中去。如果和幾何化的牛頓重力作進一步的類比，可以很自然地通過一個場方程式將能量-動量張量和里奇張量聯繫起來，而里奇張量正描述了潮汐效應的一類特殊情形：一團初始狀態為靜止的測試粒子形成的雲的體積會由於這群測試粒子作自由落體運動而變化。在狹義相對論中，能量-動量張量的守恆律在數學上對應著它的散度為零，而這一守恆律也可以被概括到更一般的彎曲時空中，其方法是將古典的偏導數替換為它們在曲面流形上的對應物：協變導數。在這一附加條件下，能量-動量張量的協變散度，以及場方程式右邊所有可能出現的項統統為零，這一組簡潔的方程式表述被稱作愛因斯坦重力場方程式：[30]

 

方程式左邊是一個由里奇張量 構成的並且散度為零的特別組合，這種組合被稱作愛因斯坦張量。特別地，

 

是時空曲率的里奇純量。而里奇張量本身與更一般化的黎曼張量之間的關係為

 

方程式右邊的 是能量-動量張量。將重力場方程式的理論和對行星軌道實際觀測的結果（或等價地考慮到弱場低速時近似為牛頓重力理論）相比較，可得到方程式中的比例常數 ，其中 是萬有引力常數而 是光速[31]。當沒有物質存在時能量-動量張量為零，這時的愛因斯坦場方程式的形式化簡為所謂真空解法：

 

某些廣義相對論的替代理論在基於同樣的前提下通過附加其他準則或約束得到了形式不一樣的重力場方程式，例如愛因斯坦-嘉當理論[32]。

定義和基礎應用

主條目：廣義相對論中的數學

前一章節概括介紹了確立廣義相對論的基本內容所需的資訊，並指出了廣義相對論理論的幾個關鍵性質。那麼隨之而來的問題是，廣義相對論對物理學究竟有多重要的意義；具體說來，如何從廣義相對論理論建立具有應用價值的具體物理模型呢？

定義和基本性質

廣義相對論是重力的度規理論，其核心是愛因斯坦場方程式。場方程式描述的是用四維半黎曼流形所描述的時空幾何學，與處在時空中物質的能量-動量張量之間的關係[33]。古典力學中由重力引起的現象（例如自由落體、星體軌道運動、太空飛行器軌道等），在廣義相對論中對應著在彎曲時空中的慣性運動，即沒有所謂外來的重力使得物體的運動偏離它們原本的自然直線運動路徑。重力本身是時空屬性的幾何學改變，使處在其中的物體沿著時空中最短的路徑作慣性運動[34]；而反過來時空的曲率是由處在時空中的物質的能量-動量張量改變的。用約翰·惠勒的話來解釋說：時空告訴物體如何運動，物體告訴時空如何彎曲[35]。

廣義相對論用一個對稱的二階張量替換了古典力學中的重力純量勢，不過前者在某些極限情形下會退化為後者。在弱重力場並且速度遠小於光速的前提下，相對論的結果和牛頓古典理論的結果是重合的[36]。

廣義相對論是用張量表示的，這是其廣義協變性的體現：廣義相對論的定律——以及在廣義相對論框架中得到的物理定律——在所有參考系中具有相同的形式[37]。並且，廣義相對論本身並不包含任何不變的幾何背景結構，這使得它能夠滿足更嚴格的廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的[38]。而廣義相對論認為在局域由於有等效原理的要求，時空是閔考斯基性的，物理定律具有局域勞侖茲不變性[39]。

物理模型的建立

廣義相對論性的模型建立的核心內容是愛因斯坦場方程式的解。在愛因斯坦場方程式和一個附加描述物質屬性的方程式（類似於馬克士威方程組和介質的本構方程式）同時已知的前提下，愛因斯坦場方程式的解包含有一個確定的半黎曼流形（通常由特定坐標下得到的度規給出），以及一個在這個流形上定義好的物質場。物質和時空幾何一定滿足愛因斯坦場方程式，因此特別地物質的能量-動量張量的協變散度一定為零。當然，物質本身還需要滿足描述其屬性的附加方程式。因此可以將愛因斯坦場方程式的解簡單理解為一個由廣義相對論制約的宇宙模型，其內部的物質還同時滿足附加的物理定律[40]。

愛因斯坦場方程式是非線性的偏微分方程式組，因此想要求得其精確解十分困難[41]。儘管如此，仍有相當數量的精確解被求得，但僅有一些具有物理上的直接應用[42]。其中最著名的精確解，同時也是從物理角度來看最令人感興趣的解包括史瓦西解、萊斯納-諾斯特朗姆解、克爾解，每一個解都對應著特定類型的黑洞模型[43]；以及傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克解和德西特宇宙（英語：De Sitter universe），每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型[44]。純粹理論上比較有趣的精確解還包括哥德爾宇宙（法語：Univers de Gödel）（暗示了在彎曲時空中進行時間旅行的可能性）、Taub-NUT解（一種均勻卻又各向異性的宇宙模型）、反德西特空間（近年來由於超弦理論中的馬爾達西那假說的提出而變得知名）[45]。

尋找愛因斯坦場方程式的精確解並非易事，因此在更多場合下愛因斯坦場方程式的解是通過計算機採用數值積分的方法，或者對精確解作微擾求得的近似解。在數值相對論這一分支中，人們使用高性能的計算機來數值模擬時空幾何，以用於數值求解兩個黑洞碰撞等有趣場合下的愛因斯坦場方程式[46]。原則上只要計算機的運算能力足夠強大，數值相對論的方法就可以應用到任何系統中，從而有可能對裸奇異點等基礎問題做出解答。另一種求得近似解的方法是藉助於像線性化重力[47]和後牛頓力學近似方法這樣的微擾理論，這兩種微擾方法都是由愛因斯坦發展的，其中後者為求解時空內分布的物體速度遠小於光速時的時空幾何提供了系統的方法。後牛頓力學近似方法是一系列展開項，第一項對應著牛頓重力，而後面的微擾項對應著廣義相對論理論對牛頓力學所作的修正[48]。這種近似展開的一種擴展方法是參數化後牛頓形式，應用這種方法可以量化地比較廣義相對論和其替代理論的預言結果[49]。

愛因斯坦理論的後續

廣義相對論對物理學的影響非常深遠[50]，其引發了諸多理論和實驗的研究成果。其中一部分是從廣義相對論的定律中直接導出的，而有些則從廣義相對論發表至今經過長久的研究才逐漸變得明朗。

重力時間膨脹和重力紅移

主條目：重力時間膨脹和紅移
 
光波從一個大質量物體表面出射時頻率會發生紅移

如果等效原理成立[51]，則可得到重力會影響時間流易的結論。射入重力勢阱中的光會發生藍移，而相反從勢阱中射出的光會發生紅移；歸納而言這兩種現象被稱作重力紅移。更一般地講，當有一個大質量物體存在時，對於同一個過程在距離大質量物體更近時會比遠離這個物體時進行得更慢，這種現象叫做重力時間膨脹[52]。

重力紅移已經在實驗室中[53]及在天文觀測中[54]得到證實和測量，而地球重力場中的重力時間延緩效應也已經通過原子鐘進行過多次測量[55]。當前的測量表明地球重力場的時間延緩會對全球定位系統的運行產生一定影響[56]。這種效應在強重力場中的測試是通過對脈衝雙星的觀測完成的[57]，所有的實驗結果都和廣義相對論相符[58]。不過在當前的測量精度下，人們還不能從中判斷這些觀測到底更支持廣義相對論還是同樣滿足等效原理的其他替代理論[59]。

光線偏折和重力時間延遲

主條目：廣義相對論中的克卜勒問題、重力透鏡和重力時間延遲效應
 
從光源（圖中藍點表示）發射出的光線在途徑一個緻密星體（圖中灰色區域表示）時發生的光線偏折

廣義相對論預言光子的路徑在重力場中會發生偏折，即當光子途徑一個大質量物體時路徑會朝向物體發生彎曲。這種效應已經通過對來自遙遠恆星或類星體的光線途徑太陽時的路徑觀測得到證實[60]。

這種現象（以及其他相關現象）的原因是光具有被稱作類光的（或被稱作零性的）測地線——相對於在古典物理中光的傳播路線是直線，類光的（或零性的）測地線是廣義相對論的相應概括，來源於狹義相對論中的光速不變原理[61]。選取了合適的時空幾何（例如黑洞視界外的史瓦西解，或後牛頓展開項）[62]就可以進一步看到重力場對光的傳播的影響，這種影響是純粹廣義相對論性的。即是說儘管從古典力學出發，通過計算中心質量對光子的古典散射也可以得到光線的偏折效應[63]，但從這種古典方法得到的偏折角度只有廣義相對論結果的一半。[64]

和光線偏折現象密切相關的另一現象是重力時間延遲效應（或稱作夏皮羅延遲效應），這種現象是指在重力場中光的傳播時間要比無重力場的情形下要長，這種效應已經被多個觀測成功證實[65]。在參數化後牛頓形式中，對光線偏折和對時間延遲的測量共同決定了一個參數 ，這個參數表徵了重力對時空幾何的影響[66]。

重力波

主條目：重力波 (相對論)
 
懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環
 
測試粒子受到重力波的作用

弱重力場和電磁場相比有一個重要類同之處：類似於隨時間變化的電磁場會輻射電磁波，重力場也有可能會輻射重力波。重力波有如時空度規的漣漪，以光速在空間中傳播[67]。最簡單的一類情形如右所示：排列成一個環狀的自由懸浮粒子（右上靜態圖像），當有一束正弦重力波穿過這個環並朝向讀者傳播時，重力波會將這個環以一種具有特徵性和旋律性的方式扭曲（右下動畫）[68]。由於愛因斯坦場方程式是非線性的，強重力場中的任意強度的重力波不滿足線性疊加（英語：Linear superposition）原理。但在弱場情形下可採用線性近似，由於從遙遠的天體輻射出的重力波到達地球時已經非常微弱，這時線性化的重力波已經足以精確描述其到達地球時的強度，其引起的空間距離的相對變化大約在10-21或更低。這些線性化的重力波是可以進行傅立葉分解的，對這些重力波信號進行的數據分析正是基於這個原理[69]。

場方程式的個別精確解能夠在不藉助任何近似條件的前提下描述重力波，如一束傳遍整個空間的波列[70]，以及所謂高蒂宇宙（英語：Gowdy universe）（多種充滿重力波的膨脹宇宙的總稱）[71]。不過對於天體物理學意義上的重力輻射而言，例如黑洞雙星的合併過程，後牛頓力學近似方法、微擾理論或數值相對論等近似途徑是僅有的處理手段[72]。

軌道效應

主條目：廣義相對論中的克卜勒問題

對於作軌道運動的物體，廣義相對論和古典力學的預言在很多地方有所不同。廣義相對論預言公轉星體的軌道會發生總體的旋轉（進動）[73]，而軌道本身也會由於重力輻射而發生衰減[74]。

近星點的進動

 
行星繞恆星作公轉的古典力學軌道（紅）和廣義相對論軌道（藍）比較

廣義相對論中，任意軌道的拱點（軌道上最接近或最遠離系統質心的點）會發生進動，這使得軌道不再是橢圓，而是一個繞著質心旋轉的准橢圓軌道，其總體上看接近於玫瑰線的形狀。愛因斯坦最早通過近似度規來表示牛頓力學的極限，並將軌道運動的物體看作一個測試質點從而在理論上得到了這一結果。這一結果的重要性在於，它能夠最簡潔地解釋天文學家於爾班·勒威耶在1859年發現的水星近日點的反常進動，而這對於當時的愛因斯坦而言是最終確認重力場方程式的正確形式的一個重要依據[73]。

從精確的史瓦西度規[75]或採用更為一般的後牛頓力學近似形式[76]也能夠推導出這種效應。從本質上說，這種進動是由於重力對時空幾何的影響，以及對物體重力的自能量的貢獻（其意義包含在愛因斯坦場方程式的非線性中）[77]。現在已經觀測到了所有能夠進行精確軌道進動測量的太陽系行星（水星、金星、地球）的相對論進動[78]，而且已經觀察到某些脈衝雙星系統的軌道進動效應，其效應要比太陽系內行星高出五個數量級[79]。

軌道衰減

 
對脈衝雙星PSR1913+16的週期變化長達三十年的觀測，其週期變化在秒量級內

根據廣義相對論，一個雙星系統會通過重力輻射損失能量。儘管這種能量損失一般相當緩慢，卻會使雙星逐漸接近，同時軌道週期也會減小。在太陽系內的兩體系統或者一般的雙星中，這種效應十分微弱，難以觀測。然而對於一個密近脈衝雙星系統而言，在軌道運動中它們會發射極度規律的脈衝信號，地球上的接收者從而能夠將這個信號序列作為一個高度精確的時鐘。這個精確的時鐘是用來精確測量脈衝雙星軌道週期的最佳工具。並且由於組成脈衝雙星的恆星是中子星，其緻密性能導致有較多部分的能量以重力輻射的形式傳播出去[74]。

最早觀測到這種因重力輻射導致的軌道週期衰減的實驗是由赫爾斯和泰勒完成的。他們在1974年發現了PSR 1913+16。它所屬的雙星系統的軌道衰減間接證實了重力波的存在。二人因為這項工作獲得1993年的諾貝爾物理學獎[80]。從那以後，科學家發現了更多的脈衝雙星，值得一提的是PSR J0737-3039。它的兩個成員都是脈衝星[81]。

測地線效應和參考系拖曳

主條目：測地線效應和參考系拖曳

有些相對論效應與坐標的方向性有關[82]，其一是測地線效應，例如一個在彎曲時空中作自由落體運動的陀螺的自轉軸會因此而改變，即使陀螺的自轉軸方向在運動過程中儘可能保持一直穩定（即所謂在曲面上作「平行輸運」）[83]。地球-月球系統的測地線效應已經通過月球雷射測距實驗得到驗證[84]。近年來物理學者通過重力探測器B衛星測量測試質量在地球重力場中的測地線效應，其結果和理論值的誤差小於0.3%[85][86]。

在一個旋轉質量的周圍還會產生重力磁性以及更一般的參考系拖曳效應，觀察者會認為旋轉質量對周圍的時空產生拖曳效應，處於旋轉質量周圍的物體會因此發生坐標改變。一個極端的版本是旋轉黑洞的所謂動圈區域，當有任何物體進入旋轉黑洞的動圈時都會不可避免地隨著黑洞一起發生轉動[87]。理論上這種效應也可以通過觀察其對一個自由落體狀態的陀螺自轉方向的影響進行驗證[88]。在存在爭議的LAGEOS衛星實驗中參考系拖曳效應得到了初步證實[89]。火星全球探勘者號在火星獲得的數據資料，也被用來做廣義相對論的參考系拖曳實驗[90][91]。

天體物理學上的應用

重力透鏡

主條目：重力透鏡
 
愛因斯坦十字：同一個天體在重力透鏡效應下的四個成像

重力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體，當觀測天體的質量和相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像，這種效應被稱作重力透鏡[92]。受系統結構、尺寸和質量分布的影響，成像可以是多個，甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環，或者圓環的一部分弧[93]。最早的重力透鏡效應是在1979年發現的[94]，至今已經發現了超過一百個重力透鏡[95]。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微重力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到，很多微重力透鏡也已經被發現[96]。

重力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具，它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分布，並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡，還可對哈伯常數做出獨立的估計。重力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義[97]。

重力波天文學

主條目：重力波 (相對論)和重力波天文學
 
藝術家的構想圖：雷射空間干涉重力波探測器LISA

對脈衝雙星的觀測是間接證實重力波存在的有力證據（參見上文軌道衰減一節），對來自宇宙深處的重力波的直接觀測也實現了，這是相對論前沿研究的主要課題之一[98]。現在已經有相當數量的地面重力波探測器持續投入運行，最值得注目的干涉重力波探測器是GEO600（英語：GEO600）、雷射干涉重力波天文台（包括三架雷射干涉重力波探測器）、TAMA300和VIRGO[99]歐洲獨立在太空中操作的雷射干涉探測器新重力波天文台現在正處於開發階段[100]，其先行測試計劃LISA探路者（LISA Pathfinder）於2014年底之前正式發射升空[101]。

人們可以通過重力波探測獲取一些從電磁波觀測結果中得不到的資訊，比如重力波波源的部分細節[102]。這些從未被真正了解過的資訊可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體，可能來自於某些超新星爆發，甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴脹時代的某些烙印，例如假想的宇宙弦（英語：Cosmic string）[103]。

2016年2月11日，雷射干涉重力波天文台（LIGO）團隊於華盛頓舉行的一場記者會上宣布人類對於重力波的首個直接探測結果。所探測到的重力波來源於雙黑洞融合。兩個黑洞分別估計為29及36倍太陽質量，這次探測為物理學家史上首次由地面直接成功探測重力波。[104][105]

黑洞和其它緻密星體

主條目：黑洞
 
基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星塌縮為黑洞並釋放出重力波的過程

廣義相對論預言了黑洞的存在，即當一個星體足夠緻密時，其重力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中，一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星，而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞[106]。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心[107]，一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用[108]。

在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將重力能量轉換為電磁輻射[109]。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制，著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體[110]。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流，這是一種噴射速度可接近光速的[111]且方向性極強的高能電漿束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用[112]，而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據[113]。

黑洞也是重力波探測的重要目標之一：黑洞雙星的合併過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的重力波信號，並且在雙星合併前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合併時的距離，並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段[114]。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的重力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何資訊[115]。

宇宙學

主條目：物理宇宙學
 
威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落

現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程式建立的，宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。

 

這個愛因斯坦場方程式的修改版本具有一個各向同性並均勻的解：傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規[116]，在這個解的基礎上，物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型[117]。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數（例如宇宙的物質平均密度）通過天文觀測加以確定[118]，人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性[119]。這個模型的很多預言都是成功的，這包括太初核合成時期形成的化學元素初始豐度[120]、宇宙的大尺度結構[121]以及早期的宇宙溫度在今天留下的「回音」：宇宙微波背景輻射[122]。

從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量，不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質，它們具有質量（即參與重力交互作用），但不參與電磁交互作用，即它們無法（通過電磁波）直接觀測到[123]。目前在已知的粒子物理[124]或其他什麼理論[125]的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的描述。另外，對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示，我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響，而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說，宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程式的某種能量形式決定的，這種能量被稱作暗能量，其本性也仍然不為所知[126]。

在所謂暴脹模型中，宇宙曾在誕生的極早期（～10-33秒）經歷了劇烈的加速膨脹過程[127]。這個在於1980年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用古典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的，例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性[128]，而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴脹模型的證據之一[129]。然而，暴脹的可能的方式也是多樣的，現今的觀測還無法對此作出約束[130]。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的，這涉及到發生在暴脹之前的、由古典宇宙學模型預言的大爆炸奇異點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子重力理論來解答，而這個理論至今還沒有建立[131]（參見下文量子重力）。

進階概念

因果結構和全域幾何

主條目：因果結構
 
一個無限的靜態閔考斯基宇宙的潘洛斯圖

在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝，即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此，一個時空中所有光的世界線（零性測地線）包含了有關這個時空的關鍵因果結構資訊。描述這種因果結構的是潘洛斯-卡特圖，在這種圖中，無限大的空間區域和時間間隔，通過共形變換，被「收縮」（數學上稱為緊化）在可被容納的有限時空區域內，而光的世界線仍然和在閔考斯基圖中一樣用對角線表示[132]。

潘洛斯和其他研究者注意到因果結構的重要性，從而發展了所謂全域幾何（英語：spacetime topology）。全域幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程式的一個個特定解（或一族解），而是運用一些對所有測地線都成立的關係，如雷喬杜瑞方程式（英語：Raychaudhuri equation），以及對物質本性的非特異性假設（通常用所謂能量條件的形式來表述）來推導普適性結論[133]。

視界

主條目：視界、無毛定理和黑洞熱力學

在全域幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線，它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞：當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中後（相關長度為史瓦西半徑[134]），沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速，黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過，從視界之外到視界之內的通道依然是存在的，這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障[135]。

 
一個旋轉黑洞的動圈，在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色

早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程式的精確解，著名的解包括球對稱的史瓦西解（用來描述靜態黑洞）和反對稱的克爾解（用來描述旋轉定態黑洞，並由此引入了動圈等有趣的屬性）。而後來的研究通過全域幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質：研究表明經過一段相當長的時間後黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體，包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一定理：「黑洞沒有毛髮」，即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如，星體經過重力塌縮形成黑洞的過程非常複雜，但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單[136]。

更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律，這被稱作黑洞（熱）力學，這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律，一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少，這類似於一個熱力學系統的熵；這個定律也決定了通過古典方法（例如，潘洛斯過程）不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量[137]。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集，而黑洞的表面積和它的熵成正比[138]。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如，由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分，則可知黑洞的表面積也有可能減小，只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體，可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射；半古典理論計算表明它們確實存在有熱輻射，在這個機制中黑洞的表面重力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色，這種輻射稱作霍金輻射（參見下文量子理論一節）[139]。

廣義相對論還預言了其他類型的視界模型：在一個膨脹宇宙中，觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測（所謂「粒子視界」），而未來的某些區域不能被影響（事件視界）[140]。即使是在平直的閔考斯基時空中，當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界，這些視界也會伴隨有半古典理論中的盎魯輻射[141]。

奇異點

主條目：重力奇異點

廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇異點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索，這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡，但愛因斯坦場方程式的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇異點，這些奇異點上類時或類光的測地線會突然中止，而對於這些奇異點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是，「奇異點」往往可能並不是一個「點」：那些場方程式的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下，不僅可能是一個「點」，還可以以其他幾何形式出現（比如克爾黑洞的「奇環」等）。一般意義上的奇異點是指曲率奇異點，這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量，例如里奇張量為無限大[142]（曲率奇異點是相對所謂坐標奇異點而言的，坐標奇異點本質上不屬於奇異點的範疇：有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大，但本質上這些點不具有奇性，在其他合適的坐標下是光滑的，也不會產生無窮大的曲率張量）。描述未來的奇異點（世界線的終結）的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇異點[143]，以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇異點[144]。傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規，以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇異點（世界線的開端），這被稱作大爆炸奇異點，而有些還具有未來的奇異點（大擠壓）[145]。

考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的，人們很容易去猜測奇異點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全域幾何證明的奇異點定理指出，奇異點是廣義相對論的一個普遍特色結果，並且任何有質量的實體發生重力塌縮並達到一個特定階段後都會形成奇異點[146]，而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇異點[147]。不過奇異點定理的內容基本沒有涉及到奇異點的性質，這些關於確定奇異點的一般結構（例如所謂BKL假說）的問題是當前相關研究的主要課題[148]。另一方面，由於在對於物理規律的破壞方面而言，一個被包裹於視界之中的奇異點被認為要好過一個「裸」的奇異點，故而宇宙監督假說被提出，它認為所有未來的實際奇異點（即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇異點）都會被藏在視界之內，從而對外面對觀察者不可見，即自然界憎恨裸奇異點。儘管還沒有實際證據證明這一點，有數值模擬的結果支持這一假說的正確性[149]。

演化方程式

每一個愛因斯坦場方程式的解都是一個宇宙，這裡的宇宙含義既包括了整個空間，也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」，而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵，愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同：大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程式（例如量子力學中的埃倫費斯特定理），即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知，其演化方程式能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的重力場和其他場的更多區別還在於前者是自身交互作用的（是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的），並且不具有固定的背景結構（在宇宙尺度上會發生演化）[150]。

為了更好地理解愛因斯坦場方程式這個與時間有關的偏微分方程式，可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解，其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式[151]，在這種分解下廣義相對論的時空演化方程式具有良好的性質：在適當的初始條件給定的情形下方程式有解並且是唯一的[152]。場方程式的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎[153]。

全域和准局域量

主條目：廣義相對論中的質量

演化方程式的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫：在愛因斯坦的理論中，一個系統的總質量（或能量）這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於，重力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局域化的能量[154]。

儘管如此，試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的，在古典物理中，質量（或能量）的定義可以來自時間平移不變性的守恆量，或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中，從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義：

  • 柯瑪質量[155]：從類時的Killing向量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量，表現為一個靜態時空的總能量；
  • ADM質量[156]：在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式，從中定義系統的總能量。

思考一個系統的總質量中被重力波攜帶至無限遠處的能量，如果不將這能量納入計算，得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量[157]。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值[158]，而動量和角動量也具有全域的相應定義[159]。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局域量的嘗試，例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式，例如環假說的某種更精確的形式[160]。

和量子理論的關係

如果認定廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一，那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝聚體物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱[161]。然而，如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題[162]。

彎曲時空中的量子場論

作為現代物理中粒子物理學的基礎，通常意義上的量子場論是建立在平直的閔考斯基時空中的，這對於處在像地球這樣的弱重力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似[163]。而在某些情形中，重力場的強度足以影響到其中的量子化的物質，但不足以要求重力場本身也被量子化，為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於古典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空，並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論[164]。通過這種理論，可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子，這即是霍金輻射，並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發[165]。如前文所述，霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用[166]。

量子重力

主條目：量子重力
參見：弦理論和迴圈量子重力

物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性[167]，以及廣義相對論中時空曲率無限大（意味著其結構成為微觀尺度）的奇異點的出現，這些都要求著一個完整的量子重力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的重力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述[168]。儘管物理學家為此做出了很多努力，並有多個有潛質的候選理論已經發展起來，至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子重力理論[169]。

 
一個卡拉比-丘流形的投影，由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法

量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除重力外的其餘三種基本交互作用，但試圖將重力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功，其結果是一個被接受的描述重力的有效（量子）場理論[170]，但在高能區域得到的模型是發散（且不可重整化）的[171]。

 
圈量子重力中的一個簡單自旋網絡

試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論，在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子，而是一維的弦[172]。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括重力在內的基本交互作用的大一統理論[173]，其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性[174]。在所謂第二次超弦革命中，人們猜測超弦理論以及廣義相對論與超對稱的統一，超重力[175]，能夠構成一種十一維模型，M理論，的一部分。科學家認為這種模型能夠成為具有唯一性定義且自洽的量子重力理論的基礎[176]。

另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式（參見上文演化方程式一節），其結果是惠勒-得衛特方程式（其作用類似於薛丁格方程式）。雖然這個方程式在一般情形下定義並不完備[177]，但在所謂阿西特卡變量的引入下[178]，從這個方程式能夠得到一個很有前途的模型：圈量子重力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網絡的網狀結構，並在離散的時間中演化[179]。

取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留，並在什麼能量量級上需要引入變化[180]，對量子重力的嘗試理論還有很多，例如動力三角剖分[181]、因果組合[182]、扭量理論[183]以及基於路徑積分的量子宇宙學模型[184]。

所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決，而且它們都在面臨一個共同的問題，即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子重力理論的預言，進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上，量子重力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能[185]。

當前進展

在重力和宇宙學的研究中，廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型，並且到目前為止能夠在不另加特例假設條件下，得到許多實驗的驗證。然而即便如此，仍然有證據顯示這個理論並不完備[186]：對量子重力的尋求以及時空奇異點的現實性問題依然有待解決[187]；實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果意味著對於建立新物理學的渴求[188]。不過，廣義相對論之中仍然充滿了值得深度探索的可能性：數學相對論學家正在尋求理解奇異點的本性，以及愛因斯坦場方程式的基本屬性[189]；更具功能的電腦正在進行黑洞合併等更多的數值模擬[190]；於2015年9月14日第一次直接觀測到重力波之後 , 後續的競賽與發展應用也正在持續中[191]，人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的重力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會[192]。在愛因斯坦發表他的理論一百年之後，廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域[193]。

注釋

  1. ^ 參見《愛因斯坦文集·第二卷》 (2010，第二卷選編說明)。
  2. ^ 這段研究發展歷程請參見Pais 1982和Janssen 2005的第九章至第十五章；涵蓋當前最新研究並包含有最初版本的多個重印版都收集在Renn 2007中；在Renn 2005，p. 110ff.有相關概述。在Einstein 1907還提供了一篇早期的重要文章，並參見Pais 1982，ch. 9。以場方程式為主要特色內容發表的文章是Einstein 1915，並參見Pais 1982，ch. 11–15。
  3. ^ 參見Schwarzschild 1916a，Schwarzschild 1916b和Reissner 1916（其後在Nordström 1918有補充）。
  4. ^ 參見Einstein 1917，並參考Pais 1982，ch. 15e。
  5. ^ 哈伯的原文是Hubble 1929；相關概述請見Singh 2004，ch. 2–4。
  6. ^ 正如伽莫夫在Gamow 1970中所指出的，愛因斯坦的懺悔被證明是為時尚早，參見下文的宇宙學一節。
  7. ^ 參見Pais 1982，p. 253–254。
  8. ^ 參見Kennefick 2005和Kennefick 2007。
  9. ^ 參見Pais 1982，ch. 16。
  10. ^ 參見Israel 1987，ch. 7.8–7.10和Thorne 1994，ch. 3–9。
  11. ^ 參見下文的軌道效應，重力時間膨脹和紅移和光線偏折和重力時間延遲及其參考文獻
  12. ^ 參見下文的宇宙學及其參考文獻；歷史發展回顧請見Overbye 1999。
  13. ^ 下文的表述參考自Ehlers 1973，section 1。
  14. ^ 例如參見Arnold 1989，chapter 1。
  15. ^ 參見Ehlers 1973，pp. 5f.。
  16. ^ 參見Will 1993，section 2.4或Will 2006，section 2。
  17. ^ 參見Wheeler 1990，chapter 2；在大多數廣義相對論的通俗讀物中都會提到這個演示。
  18. ^ Schutz 1985，pp. 114-115
  19. ^ Schutz 1985，pp. 116
  20. ^ Schutz 1985，pp. 117-118
  21. ^ 按照需要的數學水平從低到高排序，參考讀物包括Giulini 2005，Mermin 2005，以及 Rindler 1991；相關的精確實驗測量參見Ehlers & Lämmerzahl 2006的第四部分。
  22. ^ 關於這兩種對稱群的比較請見Giulini 2006a。
  23. ^ 例如參見Rindler 1991，section 22；較為全面的處理方法參見 Synge 1972，ch. 1 and 2。
  24. ^ 例如 Ehlers 1973，sec. 2.3.
  25. ^ 參見Schutz 1985，pg. 114-115。
  26. ^ 參見Ehlers 1973，sec. 1.4.和 Schutz 1985，sec. 5.1。
  27. ^ 參見Schutz 1985，pg. 75-76。
  28. ^ 實驗證據請參見Ehlers 1973，sec. 1.4.，並見下文重力時間膨脹和重力紅移。選擇另一種非零的連接係數扭率張量就會得到愛因斯坦-嘉當理論。
  29. ^ 參見Ehlers 1973，p. 16；Kenyon 1990，sec. 7.2；Weinberg 1972，sec. 2.8。
  30. ^ 參見Schutz 1985，sec. 8.1。
  31. ^ 例如參見Kenyon 1990，sec. 7.4。
  32. ^ 關於更多的替代理論參見Brans & Dicke 1961，Weinberg 1972的第七章第三節， Goenner 2004，sec. 7.2以及Trautman 2006。
  33. ^ 例如參見 Wald 1984，ch. 4，Weinberg 1972，ch. 7或任意一本廣義相對論教科書
  34. ^ 這種說法至少是近似成立的，參見Poisson 2004。
  35. ^ 例如見於Wheeler 1990p. xi
  36. ^ 例如參見Wald 1984，sec. 4.4
  37. ^ 例如參見Wald 1984，sec. 4.1。
  38. ^ 關於定義廣義相對性原理以及將其從廣義協變性的觀念中分離出來這一過程中所遇到的困難，參見Giulini 2006b。
  39. ^ 例如Weinberg 1972的第十二章第五節。
  40. ^ 參見Stephani et al. 2003中的介紹章節。
  41. ^ 在Geroch 1996中有關於愛因斯坦場方程式在聯繫其他具有物理意義的偏微分方程式下的回顧討論。
  42. ^ 關於這些解的背景和列表，參見Stephani et al. 2003；另一個更新的回顧討論是MacCallum 2006。
  43. ^ 例如參見Chandrasekhar 1983的第三、五、六章。
  44. ^ 例如參見Narlikar 1993的第四章和第3.3節。
  45. ^ 在Hawking & Ellis 1973，ch. 5中有關於這些解的簡略描述和其他更多的有趣精確解。
  46. ^ 參見Lehner 2002的概述。
  47. ^ 例如參見Wald 1984，sec. 4.4。
  48. ^ 例如參見Will 1993，sec. 4.1 and 4.2。
  49. ^ 參見Will 2006的第3.2節以及Will 1993，ch. 4。
  50. ^ 中華民國重力學會. 相對論百年故事. 大塊文化出版股份有限公司. 2015年9月1日: 11–13 [2017-02-22]. ISBN 9789862136270. （原始內容存檔於2021-01-19） （中文）. 
  51. ^ 參見Rindler 2001，pp. 24–26 vs. pp. 236–237和Ohanian & Ruffini 1994，pp. 164–172。事實上，愛因斯坦早在1907年就通過（愛因斯坦）等效原理（EEP）推導出了這些效應，參見 Einstein 1907和Pais 1982，pp. 196–198中的描述。
  52. ^ 參見Rindler 2001，pp. 24–26；Misner, Thorne & Wheeler 1973，§ 38.5。
  53. ^ 龐德-雷布卡實驗，參見Pound & Rebka 1959，Pound & Rebka 1960；Pound & Snider 1964；更多的實驗列表在Ohanian & Ruffini 1994，table 4.1 on p. 186。
  54. ^ 例如參見Greenstein, Oke & Shipman 1971；最新也是最精確的對於天狼星B的觀測成果發表在Barstow, Bond & Holberg 2005。
  55. ^ 這類測量以Hafele-Keating實驗為起始，參見Hafele & Keating 1972a和Hafele & Keating 1972b，在重力探測器A的探測中達到頂峰；對這類實驗的概述參見Ohanian & Ruffini 1994，table 4.1 on p. 186。
  56. ^ 通過比較地面上的原子鐘和軌道衛星上的原子鐘來檢測GPS的工作一直在持續進行中；關於相應的相對論效應參見Ashby 2002和Ashby 2003。
  57. ^ 在Stairs 2003和Kramer 2004中有回顧評論。
  58. ^ 一般性綜述在Will 2006的2.1節；Will 2003, pp. 32–36； Ohanian & Ruffini 1994，section 4.2。
  59. ^ 參見Ohanian & Ruffini 1994，pp. 164–172。
  60. ^ 參見Kennefick 2005 以了解愛丁頓爵士的早期古典測量；關於現代更多更新的同類測量概述參見Ohanian & Ruffini 1994，chapter 4.3。現在所能達到的最精確測量方法是通過脈衝星，參見Shapiro et al. 2004。
  61. ^ 狹義相對論中的光速不變不是一條獨立的公理，它能通過愛因斯坦場方程式和電磁場的拉格朗日量並使用WKB方法導出，參見Ehlers 1973，section 5。
  62. ^ 對這一方面的一個簡明摘要可見於Blanchet 2006，section 1.3。
  63. ^ 或對光子應用自由落體定律，參見Rindler 2001，section 1.16；其他歷史實例可見於Israel 1987，p. 202–204.；事實上愛因斯坦在Einstein 1907這篇文獻中已經發表過這種推導，其中的計算默認了時空是歐幾里德性的。參見Ehlers & Rindler 1997。
  64. ^ 從愛因斯坦理論的立場來看，這些推導考慮的是重力對光的作用，而並非將重力看作是時空的彎曲，參見Rindler 2001，sec. 11.11。
  65. ^ 關於在太陽重力場中雷達信號到達金星或水星等行星後返回的延遲，參見Shapiro 1964，其教學性的介紹可見於Weinberg 1972，ch. 8, sec. 7；關於從太空探測器返回的信號延遲（收發機測量），參見Bertotti, Iess & Tortora 2003；概述可見於Ohanian & Ruffini 1994，table 4.4 on p. 200；關於更新的對接收到的脈衝雙星信號的測量，其中一顆脈衝星的信號在另一顆脈衝星的重力場中被延遲，參見Stairs 2003，section 4.4。
  66. ^ 參見Will 1993，sec. 7.1 and 7.2。
  67. ^ 關於重力波的概述請見 Misner, Thorne & Wheeler 1973，part VIII。需要注意到是儘管性質類同於電磁波，重力波輻射的主導項來自於波源的四極矩而非電磁波一樣的偶極矩，參見Schutz 2001。
  68. ^ 大多數廣義相對論的教科書都會包含這方面的說明，例如Schutz 1985，ch. 9。
  69. ^ 例如參見Jaranowski & Królak 2005。
  70. ^ 參見Rindler 2001，ch. 13。
  71. ^ 參見 Gowdy 1971，Gowdy 1974。
  72. ^ 關於數值相對論方法的簡要介紹參見Lehner 2002，而Seidel 1998介紹了數值相對論與重力波天文學之間的銜接關係。
  73. ^ 73.0 73.1 參見Schutz 2003，pp. 48–49和Pais 1982，pp. 253–254。
  74. ^ 74.0 74.1 參見Stairs 2003和Schutz 2003，pp. 317–321；以及Bartusiak 2000，pp. 70–86。
  75. ^ 參見Rindler 2001，sec. 11.9。
  76. ^ 參見Will 1993，pp. 177–181。
  77. ^ 在參數化後牛頓形式中，對這種效應的測量決定了兩個參數 和 的線性組合，參見Will 2006，sec. 3.5和Will 1993，sec. 7.3。
  78. ^ 在太陽系行星上做出的最精確測量是VLBI測量，參見Will 1993，chapter 5，Will 2006，section 3.5，Anderson et al. 1992；概述見於Ohanian & Ruffini 1994，pp. 406–407。
  79. ^ 參見Kramer et al. 2006。
  80. ^ 關於這段研究的概述在Weisberg & Taylor 2003；脈衝雙星本身的發現可見於Hulse & Taylor 1975；關於重力波存在的最早證據在Taylor 1994。
  81. ^ 參見Kramer 2004。
  82. ^ 例如參見Penrose 2004，§14.5和Misner, Thorne & Wheeler 1973，sec. §11.4。
  83. ^ 參見Weinberg 1972，sec. 9.6和Ohanian & Ruffini 1994，sec. 7.8。
  84. ^ 參見Bertotti, Ciufolini & Bender 1987和更新的評論Nordtvedt 2003。
  85. ^ 參見Kahn 2007
  86. ^ 任務的介紹可見於Everitt et al. 2001；飛行後的首次評估可見於Everitt et al. 2007；更多更新即將見於此項任務的網站Kahn 2012。
  87. ^ 例如參見Townsend 1997，sec. 4.2.1和Ohanian & Ruffini 1994，pp. 469–471.。
  88. ^ 例如參見Ohanian & Ruffini 1994，sec. 4.7和Weinberg 1972，sec. 9.7；更新的評論在Schäfer 2004。
  89. ^ 例如參見Ciufolini & Pavlis 2004和Ciufolini, Pavlis & Peron 2006；參見參考系拖曳了解相關的爭論。
  90. ^ Iorio L., COMMENTS, REPLIES AND NOTES: A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars, Classical Quantum Gravity, August 2006, 23 (17): 5451–5454, Bibcode:2006CQGra..23.5451I, arXiv:gr-qc/0606092  , doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01 
  91. ^ Iorio L., On the Lense-Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars, Central European Journal of Physics, June 2010, 8 (3): 509–513, Bibcode:2010CEJPh...8..509I, arXiv:gr-qc/0701146  , doi:10.2478/s11534-009-0117-6 
  92. ^ 關於重力透鏡及其應用的概述參見Ehlers, Falco & Schneider 1992和Wambsganss 1998。
  93. ^ 關於重力透鏡效應的簡單推導參見 Schutz 2003，ch. 23；以及Narayan & Bartelmann 1997，sec. 3。
  94. ^ 參見Walsh, Carswell & Weymann 1979。
  95. ^ 所有這些已知的重力透鏡的照片都可以在CASTLES計劃中找到：Kochanek et al. 2007。
  96. ^ 相關概述參見Roulet & Mollerach 1997。
  97. ^ 參見Narayan & Bartelmann 1997，sec. 3.7。
  98. ^ 重力波天文學的概述可參見Barish 2005；以及Bartusiak 2000和Blair & McNamara 1997。
  99. ^ 重力波探測器概述可見於Hough & Rowan 2000。
  100. ^ 參見Danzmann & Rüdiger 2003。
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  102. ^ 參見Thorne 1995。
  103. ^ 參見 Cutler & Thorne 2002。
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  106. ^ 參見Miller 2002，lectures 19 and 21。
  107. ^ 例如參見Celotti, Miller & Sciama 1999，sec. 3。
  108. ^ 參見Springel et al. 2005 and the accompanying summary Gnedin 2005。
  109. ^ 參見Blandford 1987，section 8.2.4。
  110. ^ 關於這種機制的基本原理參見Carroll & Ostlie 1996，sec. 17.2；關於由這種機制形成的不同種類的天體的更多資訊參見Robson 1996。
  111. ^ 有關相對論性噴流的介紹參見Begelman, Blandford & Rees 1984。有趣的是，對於一個距離遙遠的觀測者而言，某些相對論性噴流的速度看上去甚至超過了光速；但這其實是一種光學上的幻象而並不違反相對論，參見Rees 1966。
  112. ^ 關於恆星演化的最終階段參見Oppenheimer & Snyder 1939，以及Font 2003，sec. 4.1包含了更多更新的數值計算成果；對於超新星爆發的過程仍有一些主要問題沒有被解決，參見Buras et al. 2003；關於吸積和噴流形成的數值模擬，參見Font 2003，sec. 4.2。而重力透鏡效應則被認為在接收來自X射線脈衝星的信號中起到了一定作用，參見Kraus 1998。
  113. ^ 這些證據包括通過對吸積驅動效應的觀測得到的星體緻密度的極限（「愛丁頓光度」），參見Celotti, Miller & Sciama 1999；對我們的銀河系中心附近的恆星動力學觀測，參見Schödel et al. 2003；對某些X射線暴（其中心星體往往是一顆中子星或黑洞）的研究表明宇宙中至少有某些緻密星體並沒有固態的表面，參見Remillard et al. 2006及Narayan 2006，sec. 5；以及對銀河系中心的超大質量黑洞的事件視界的「陰暗」部分的搜索觀測正在積極進行中，參見Falcke, Melia & Agol 2000.
  114. ^ 參見Dalal et al. 2006。
  115. ^ 例如參見Barack & Cutler 2004。
  116. ^ 參見Carroll 2001，ch. 2。
  117. ^ 參見Bergström & Goobar 2003，ch. 9–11；這些宇宙模型之所以能夠被認可，是由於觀測到的宇宙在大尺度（一億光年以上）上是均勻且各向同性的，參見Peebles et al. 1991。
  118. ^ 例如參考來自WMAP的數據，參見Spergel et al. 2003。
  119. ^ 這些檢驗來自於彼此獨立的觀測，例如參見Bridle et al. 2003中圖2。
  120. ^ 參見Peebles 1966；對這些預言的解釋參見Coc et al. 2004；以及Weiss 2006；對這些觀測的比較參見Olive & Skillman 2004， Bania, Rood & Balser 2002，O'Meara et al. 2001以及Charbonnel & Primas 2005。
  121. ^ 回顧評論可見於Lahav & Suto 2004和Bertschinger 1998；更新的研究成果在Springel et al. 2005。
  122. ^ 參見Alpher & Herman 1948，教學性的介紹參見Bergström & Goobar 2003，ch. 11；最早對微波背景輻射的觀測在Penzias & Wilson 1965，通過人造衛星所作的精確測量在Mather et al. 1994 (COBE)和Bennett et al. 2003 (WMAP)。未來的觀測還有可能揭示極早期宇宙誕生時就存在的重力波的一些證據；這些附加的資訊包含在微波背景輻射的偏振中，參見Kamionkowski, Kosowsky & Stebbins 1997和Seljak & Zaldarriaga 1997。
  123. ^ 暗物質存在的證據：一部分來自於對宇宙學參數的確定以及對星系和星系團的一些觀測，參見Peebles 1993的第十八章；一部分來自於重力透鏡，參見Peacock 1999，sec. 4.6；一部分來自對大尺度結構形成的模擬，參見Springel et al. 2005。
  124. ^ 參見Peacock 1999，ch. 12和Peskin 2007；特別地，觀測顯示除了少到可以忽略的一部分之外這些物質基本上不是由通常狀態下的基本粒子組成的（即它們並非強子組成的物質），參見Peacock 1999，ch. 12。
  125. ^ 也就是說，有些物理學家開始懷疑暗物質存在的證據是否其實是愛因斯坦理論（當然也包括牛頓理論）對重力的描述存在偏差的證明，關於這一猜測的概述參見Mannheim 2006，sec. 9。
  126. ^ 參見Carroll 2001；概述可見於Caldwell 2004。對於暗能量，有些科學家也認為暗能量並非是一種新的能量形式，而是我們的宇宙學模型需要修正，參見Mannheim 2006，sec. 10；不過這不一定意味著要對廣義相對論進行修正，而可以是我們對宇宙各向異性的處理方法需要修正，參見Buchert 2007。
  127. ^ 關於暴脹模型有一篇很好的介紹：Linde 1990；以及一篇更近的回顧評論：Linde 2005。
  128. ^ 更準確地說，其中包括平坦問題、視界問題和單極矩問題；教學性介紹參見Narlikar 1993，sec. 6.4以及Börner 1993，sec. 9.1。
  129. ^ 參見Spergel et al. 2007，sec. 5 & 6。
  130. ^ 更具體地說，在暴脹的動力學中起到關鍵作用的位能函數在現階段只是簡單推測來的，並沒有經過一個物理理論的推導。
  131. ^ 參見Brandenberger 2007，sec. 2。
  132. ^ 參見Frauendiener 2004，Wald 1984，section 11.1，以及Hawking & Ellis 1973，section 6.8 & 6.9。
  133. ^ 例如參見Wald 1984，sec. 9.2–9.4和Hawking & Ellis 1973，ch. 6.。
  134. ^ 參見Thorne 1972；對更新的數值計算結果的解釋可見於Berger 2002，sec. 2.1。
  135. ^ 有關這一概念的演化介紹，參見Israel 1987。 用更精確的數學描述來區別不同種類的視界，著名的包括事件視界和表面視界，可見於Hawking & Ellis 1973，pp. 312–320或Wald 1984，sec. 12.2；對於不需要在無限遠處時空性質的孤立系統，還存在直覺的定義，參見Ashtekar & Krishnan 2004。
  136. ^ 初步知識參見Israel 1971；相關推導參見Hawking & Ellis 1973，sec. 9.3或Heusler 1996，ch. 9 and 10；最近的研究成果回顧參見Heusler 1998和Beig & Chruściel 2006。
  137. ^ 黑洞力學定律首先是在Bardeen, Carter & Hawking 1973中描述的；一個具有教學性的演示發言可見於Carter 1979；更新的回顧評論參見Wald 2001的第二章。涵蓋了所需要數學的較為全面詳細的介紹參見Poisson 2004。關於潘洛斯過程參見Penrose 1969。
  138. ^ 參見Bekenstein 1973和Bekenstein 1974。
  139. ^ 黑洞存在量子輻射的事實最早是在Hawking 1975中推導出的；一個更全面的推導可見於Wald 1975；相關回顧評論參見Wald 2001第三章。
  140. ^ 參見Narlikar 1993，sec. 4.4.4 and 4.4.5。
  141. ^ 關於視界參見Rindler 2001，sec. 12.4； 關於盎魯效應參見Unruh 1976, cf. Wald 2001，chapter 3。
  142. ^ 參見 Hawking & Ellis 1973，section 8.1，Wald 1984，section 9.1。
  143. ^ 參見Townsend 1997，chapter 2；這一精確解的延伸處理參見Chandrasekhar 1983，chapter 3。
  144. ^ 參見Townsend 1997，chapter 4；這一精確解的延伸處理參見Chandrasekhar 1983，chapter 6。
  145. ^ 參見Ellis & van Elst 1999；關於奇異點本身的探討參見Börner 1993，sec. 1.2。
  146. ^ 這是指束縛的零性表面（trapped null surface），參見Penrose 1965。
  147. ^ 參見Hawking 1966。
  148. ^ BKL假說是在Belinskii, Khalatnikov & Lifschitz 1971中建立的；更新的回顧評論參見 Berger 2002，以及Garfinkle 2007。
  149. ^ 對未來奇異點的約束條件自然地排除了像大爆炸奇異點這樣的初始奇異點的存在可能，而這些奇異點原則上在經過一定宇宙學上的時間尺度後，是可以被觀測者看到的。宇宙監督假說首先見於Penrose 1969；教科書水平的解釋見於Wald 1984，pp. 302–305。更多的數值模擬結果參見評論Berger 2002，sec. 2.1。
  150. ^ 參見 Hawking & Ellis 1973，sec. 7.1。
  151. ^ 參見Arnowitt, Deser & Misner 1962；教學性介紹參見Misner, Thorne & Wheeler 1973，§21.4–§21.7。
  152. ^ Fourès-Bruhat 1952 and Bruhat 1962；教學性介紹參見Wald 1984，ch. 10；在線的回顧評論參見Reula 1998。
  153. ^ 參見Gourgoulhon 2007；並參見數值相對論的基礎回顧Lehner 2001，其中還包含從愛因斯坦方程式特性引發的問題。
  154. ^ 參見 Misner, Thorne & Wheeler 1973，§20.4。
  155. ^ 參見Komar 1959；教學性介紹參見Wald 1984，sec. 11.2；儘管定義方法差別很大，對於定態時空而言可以證明它和ADM質量等價，參見Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979。
  156. ^ 參見Arnowitt, Deser & Misner 1962。
  157. ^ 教學性介紹參見Wald 1984，sec. 11.2。
  158. ^ 在Wald 1984的第295頁給出了很多參考；這對於時空的穩定性問題而言非常重要——如果負質量態存在，那麼當平直的閔考斯基時空中的質量為零時將有可能向這些態演化。
  159. ^ 例如參見Townsend 1997，ch. 5。
  160. ^ 這樣的准局域的質量-能量定義包括霍金能量、Geroch能量，以及潘洛斯通過扭量方法定義的准局域能量-動量，參考評論Szabados 2004。
  161. ^ 系統介紹量子理論的教科書有很多，如Messiah 1999；更基礎的解釋可參見Hey & Walters 2003。
  162. ^ Rovelli 2000
  163. ^ 參見教科書Ramond 1990， Weinberg 1995或Peskin & Schroeder 1995；以及概述Auyang 1995。
  164. ^ 參見Wald 1994和Birrell & Davies 1984。
  165. ^ 霍金輻射參見Hawking 1975，Wald 1975黑洞蒸發的更基礎解釋參見Traschen 2000。
  166. ^ 參見Wald 2001第三章。
  167. ^ 簡單說來，物質是時空曲率的源，由於物質是量子化的，所以我們也期待時空也具有相應的量子性質，參見Carlip 2001第二節。
  168. ^ 例如參見 Schutz 2003的第407ff頁。
  169. ^ 有關時間表和概述可見於Rovelli 2000。
  170. ^ 參見Donoghue 1995。
  171. ^ 有關重整化參見Weinberg 1996的第十七和十八章；關於重整化對重力場在高能範圍內失效參見 Goroff & Sagnotti 1985。
  172. ^ 本科生水平的弦論介紹參見Zwiebach 2004；更全面的介紹參見Polchinski 1998a和Polchinski 1998b。
  173. ^ 在當前的實驗所能達到的能量下，弦和點狀粒子仍然是無法區分的；但關鍵一點在於，同一種類的基本弦在不同的振動模式下所表現出來的粒子攜帶有不一樣的電荷，例如參見Ibanez 2000。這一理論的成功之處是有一種振動模式總是能與重力的媒介子即重力子對應，例如參見Green, Schwarz & Witten 1987，sec. 2.3 and 5.3。
  174. ^ 例如參見Green, Schwarz & Witten 1987，sec. 4.2。
  175. ^ 例如參見Weinberg 2000，ch. 31。
  176. ^ 例如參見Townsend 1996，Duff 1996。
  177. ^ Cf. section 3 in Kuchař 1973.
  178. ^ 這種變量用電場和磁場在數學上的類比來表示幾何重力，參見Ashtekar 1986，Ashtekar 1987。
  179. ^ 回顧評論參見Thiemann 2006；更詳細的解釋參見Rovelli 1998，Ashtekar & Lewandowski 2004以及講義Thiemann 2003。
  180. ^ 例如參見系統性的說明Isham 1994和Sorkin 1997。
  181. ^ 參見Loll 1998。
  182. ^ 參見Sorkin 2005。
  183. ^ 參見Penrose 2004的第三十三章和其包含的參考文獻。
  184. ^ 參見Hawking 1987。
  185. ^ 例如參見Ashtekar 2007，Schwarz 2007。
  186. ^ 參見Maddox 1998，pp. 52–59 and 98–122，Penrose 2004，section 34.1 and chapter 30。
  187. ^ 參見上文量子重力。
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  190. ^ 關於數值模擬的諸多問題，以及由此發展的解決技術的回顧評論參見Lehner 2002。
  191. ^ 參見Bartusiak 2000了解到2000年為止的重力波探測，更新的結果可見於各大重力波探測計劃主頁，例如GEO 600 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和LIGO （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。
  192. ^ 緻密雙星旋近的重力波偏振的相關論文參見Blanchet et al. 2008和Arun et al. 2007；緻密雙星的研究回顧評論參見Blanchet 2006 和Futamase & Itoh 2006；廣義相對論的實驗驗證概述參見Will 2006。
  193. ^ 例如，請參閱網路評論期刊Living Reviews in Relativity （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考文獻

外部連結

 
維基教科書中的相關電子教學：廣義相對論

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