拉回叢

數學上，拉回叢（pullback bundle）或導出叢（induced bundle）是纖維叢理論中的常見構造。令 π : E → B為以F為纖維的纖維叢，並令f : B′ → B為任意連續映射。則，f自然地誘導出一個纖維叢 π′ : f*E → B′，它也以F為纖維。大致來講，只需要說在點x的纖維是在點f(x)的纖維就可以了；然後用不交並將所有纖維合起來。

如果要更形式化一些，可以定義

$f^{*}E=\{(x,e)\in B'\times E\mid f(x)=\pi (e)\}$

投影映射π′ : f*E → B′由下式給出

$\pi '(x,e)=x.\,$

到第二個因子的投影給出了一個映射${\tilde {f}}\colon f^{*}E\to E$滿足如下交換圖:

若{U_i, φ_i)為一E的局部平凡化，則(f⁻¹U_i, ψ_i)是f*E的局部平凡化，其中

$\psi _{i}(x,e)=(x,{\mbox{proj}}_{2}(\phi _{i}(e))).\,$

然後，f*E就是B′上以F為纖維的纖維叢了。f*E稱為拉回叢或由f誘導的叢。映射${\tilde {f}}$是覆蓋f的叢的一個態射。

若叢E → B有結構群 G，其變換函數為t_ij，則拉回叢f*E也有結構群G。f*E中的變換函數為

$f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.$

若E → B是向量叢或主叢則拉回叢f*E也是同類的叢。在主叢的情況，G在f*E上的作用為

$(x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)$

因此，映射${\tilde {f}}$是右等變的，並定義了一個主叢間的態射。

用範疇論的語言，拉回叢的構造是更一般的範疇拉回的一個例子。因此，它滿足相應的泛性質。

叢和層

叢的拉回是很直接的，所以叢是本質上逆變的。與此形成對比的是，一個層是本質上協變的：其直接的構造是層的直接像。雖然每個叢都有一個截面的層，其變化是相反的。這個分歧在很多領域是一個好處。但是必須注意層的直接像相對於叢而言沒有一個閉屬性。取層的直接像經常可能導致產生一個不是'叢的截面'類型的新層。

因此，叢的前推的概念雖然不是沒有，而且實際上很重要，但這個概念產生的對象可能在一般情況下不是叢。

參考

• R.W. Sharpe, Differential Geometry, Springer-Verlag (1997). ISBN 0-387-94732-9
• 誘導叢（英文） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, PlanetMath