反曲點(英語:Inflection point)或稱拐點,是一條連續曲線,或由的點,或者等價地說,是使切線穿越曲線的點。

y=x3的函數圖形,原點是其反曲點
反正切函數的反曲點

決定曲線的反曲點有助於理解曲線的外形,這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義

若曲線圖形在一點由凸轉凹,或由凹轉凸,則稱此點為反曲點。直觀地說,反曲點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某點的二階導數為零或不存在,且二階導數在該點兩側符號相反,該點即為函數的反曲點。這是尋找反曲點時最實用的方法之一。

反曲點的必要條件

反曲點的必要條件:設  內二階可導, ,若 是曲線 的一個反曲點,則 。 比如, ,有 ,但是0兩側全是凸,所以0不是函數 的反曲點。

反曲點的充分條件:設  內二階可導, ,若在 兩側附近 異號,則點 為曲線的反曲點。否則(即 保持同號), 不是反曲點。

分類

反曲點可以根據 為零或不為零,進行分類:

  • 如果 為零,此點為反曲點的駐點,簡稱為鞍點
  • 如果 不為零,此點為反曲點的非駐點

例如: 的點 是一個鞍點,切線為 軸,切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的反曲點

平面參數曲線的反曲點是使其曲率變號的點,此時曲率中心(居於曲線凹側)從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與反曲點

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分(它們是向量)線性獨立的點。在雙正則點上,曲線既無反曲點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零,但是不一定有變號。在尋找參數曲線的反曲點時,我們通常先以微分找出非雙正則點,繼之研究其局部性狀,以判定是否為反曲點。

:某些作者偏好將反曲點定義為「使一階與二階微分平行的點」,在此定義下,切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的反曲點

  上的平面代數曲線,其反曲點定義為一平滑點 ,使得該點切線   點的相交重數 

注意到一條曲線與  點相切的充要條件是相交重數 。當 時,代數曲線的反曲點定義等價於上節註記中的廣義定義。

參見

文獻