排序不等式

排序不等式數學上的一條不等式。它可以推導出很多有名的不等式,例如算術幾何平均不等式(簡稱算幾不等式),柯西不等式,和柴比雪夫總和不等式。它是說:

如果 ,和 是兩組實數。而 的一個排列。排序不等式指出

以文字可以說成是順序和不小於亂序和,亂序和不小於逆序和。與很多不等式不同,排序不等式不需限定的正負。

證明

排序不等式可以用數學歸納法證明。關鍵在於下列結果:

 ,則有  

移項得出  

重複以上步驟便可得出排序不等式。


我們設    原序列的前   個數的和,即  

  為打亂順序後的序列,  表示亂序後的前   個數的和。所以有  

注意到  ,則  

 

得證。