擬譜法 （Pseudo-spectral methods）[ 1] 離散變數表示 （discrete variable representation、DVR）法，是在應用數學 及計算科學 中求解偏微分方程 用的數值分析 方法。擬譜法和譜方法 基底 函數中使用了擬譜的基底函數，也就是可以在分割網格上表示的函數。此作法簡化一些運算子的計算，在使用快速演算法（例如快速傅立葉變換 ）時可以加速計算速度。
考慮以下的初值問題
i
∂
∂
t
ψ
(
x
,
t
)
=
[
−
∂
2
∂
x
2
+
V
(
x
)
]
ψ
(
x
,
t
)
,
ψ
(
t
0
)
=
ψ
0
{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\Bigl [}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x){\Bigr ]}\psi (x,t),\qquad \qquad \psi (t_{0})=\psi _{0}}
有週期性條件
ψ
(
x
+
1
,
t
)
=
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (x+1,t)=\psi (x,t)}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
薛丁格方程 ，不過其結構可適用到其他應用。在許多實務上的偏微分方程中，其中有一項是和導數（例如是動能相關的量）有關，另一項則是和另一個函數（此處為勢能）的乘積。
在譜方法中，其解
ψ
{\displaystyle \psi }
ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
∑
n
c
n
(
t
)
e
2
π
i
n
x
.
{\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n}c_{n}(t)e^{2\pi inx}.}
將解代入，並且計算係數的方程，可以得到係數的常微分方程
i
d
d
t
c
n
(
t
)
=
(
2
π
n
)
2
c
n
+
∑
k
V
n
−
k
c
k
,
{\displaystyle i{\frac {d}{dt}}c_{n}(t)=(2\pi n)^{2}c_{n}+\sum _{k}V_{n-k}c_{k},}
而其元素
V
n
k
{\displaystyle V_{nk}}
V
n
−
k
=
∫
0
1
V
(
x
)
e
2
π
i
(
k
−
n
)
x
d
x
.
{\displaystyle V_{n-k}=\int _{0}^{1}V(x)\ e^{2\pi i(k-n)x}dx.}
若將
N
{\displaystyle N}
c
n
(
t
)
{\displaystyle c_{n}(t)}
數值方法 龍格－庫塔法 。為了數值解，常微分方程的右側需重覆計算在許多不同時間間隔下的值。此時，譜方法有個和勢能項
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
在譜方法下，和勢能函數
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
N
2
{\displaystyle N^{2}}
V
n
k
{\displaystyle V_{nk}}
在擬譜法中，會用不同的方式來計算。給定係數
c
n
(
t
)
{\displaystyle c_{n}(t)}
ψ
{\displaystyle \psi }
x
j
=
2
π
j
/
N
{\displaystyle x_{j}=2\pi j/N}
ψ
′
(
x
i
,
t
)
=
V
(
x
i
)
ψ
(
x
i
,
t
)
{\displaystyle \psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)}
c
n
′
(
t
)
{\displaystyle c'_{n}(t)}
∑
k
V
n
−
k
c
k
(
t
)
{\displaystyle \sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)}
可以證明二個方法有類似的精準度，而且擬譜法可以使用快速傅立葉轉換，其時間複雜度為
O
(
N
ln
N
)
{\displaystyle O(N\ln N)}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
若用比較抽象的方式來描述，擬譜法是處理在偏微分方程中二個函數
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
將
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
~
(
x
)
=
V
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)}
譜方法
針對一組給定的基底函數，找到一組分割方式可以將基底函數的純量積轉換為在格點上的加權和。
在每一個格點將
V
{\displaystyle V}
f
{\displaystyle f}
函數
f
{\displaystyle f}
f
~
{\displaystyle {\tilde {f}}}
{
ϕ
n
}
n
=
0
,
…
,
N
{\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
N
c
n
ϕ
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x)}
f
~
(
x
)
=
∑
n
=
0
N
c
~
n
ϕ
n
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {f}}(x)=\sum _{n=0}^{N}{\tilde {c}}_{n}\phi _{n}(x)}
為了簡化起見，令基底是正交且正規化的，
⟨
ϕ
n
,
ϕ
m
⟩
=
δ
n
m
{\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\delta _{nm}}
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
c
n
=
⟨
f
,
ϕ
n
⟩
{\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle }
c
~
n
=
⟨
f
~
,
ϕ
n
⟩
{\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle }
配合一些計算可得
c
~
n
=
∑
m
=
0
N
V
n
−
m
c
m
{\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\sum _{m=0}^{N}V_{n-m}c_{m}}
而
V
n
−
m
=
⟨
V
ϕ
m
,
ϕ
n
⟩
{\displaystyle V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle }
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
針對給定基底解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \{\phi_n\}}
以及
N
+
1
{\displaystyle N+1}
N
+
1
{\displaystyle N+1}
⟨
ϕ
n
,
ϕ
m
⟩
=
∑
i
=
0
N
w
i
ϕ
n
(
x
i
)
ϕ
m
(
x
i
)
¯
n
,
m
=
0
,
…
,
N
{\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}\phi _{n}(x_{i}){\overline {\phi _{m}(x_{i})}}\qquad \qquad n,m=0,\ldots ,N}
特別的例子包括多項式的高斯求積 以及平面波的離散傅立葉變換 ，特別需注意的是格點及加權
x
i
,
w
i
{\displaystyle x_{i},w_{i}}
N
{\displaystyle N}
利用分割方式，可以透過格點上的值，以另一種方式來表示函數
f
(
x
)
,
f
~
(
x
)
{\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)}
f
(
x
i
)
=
∑
n
=
0
N
c
n
ϕ
n
(
x
i
)
{\displaystyle f(x_{i})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x_{i})}
c
n
=
⟨
f
,
ϕ
n
⟩
=
∑
n
=
0
N
w
i
f
(
x
i
)
ϕ
n
(
x
i
)
¯
{\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle =\sum _{n=0}^{N}w_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}
和函數
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
f
~
(
x
i
)
=
V
(
x
i
)
f
(
x
i
)
.
{\displaystyle {\tilde {f}}(x_{i})=V(x_{i})f(x_{i}).}
一般來說這裡會有一些近似，可以計算其中一個係數
c
~
n
{\displaystyle {\tilde {c}}_{n}}
c
~
n
=
⟨
f
~
,
ϕ
n
⟩
=
∑
i
w
i
f
~
(
x
i
)
ϕ
n
(
x
i
)
¯
=
∑
i
w
i
V
(
x
i
)
f
(
x
i
)
ϕ
n
(
x
i
)
¯
{\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle =\sum _{i}w_{i}{\tilde {f}}(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}=\sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}
利用譜方法，對應的係數會是
c
~
n
=
⟨
V
f
,
ϕ
n
⟩
{\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle }
⟨
V
f
,
ϕ
n
⟩
≈
∑
i
w
i
V
(
x
i
)
f
(
x
i
)
ϕ
n
(
x
i
)
¯
.
{\displaystyle \langle Vf,\phi _{n}\rangle \approx \sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}.}
若乘積可以用
V
f
{\displaystyle Vf}
若問題中有週期性的邊界條件，其週期為
[
0
,
L
]
{\displaystyle [0,L]}
ϕ
n
(
x
)
=
1
L
e
−
ı
k
n
x
{\displaystyle \phi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{-\imath k_{n}x}}
其中
k
n
=
(
−
1
)
n
⌈
n
/
2
⌉
2
π
/
L
{\displaystyle k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L}
⌈
⋅
⌉
{\displaystyle \lceil \cdot \rceil }
取整函數 。
在
n
max
=
N
{\displaystyle n_{\text{max}}=N}
離散傅立葉轉換 ，格點會平均分佈
x
i
=
i
Δ
x
{\displaystyle x_{i}=i\Delta x}
Δ
x
=
L
/
(
N
+
1
)
{\displaystyle \Delta x=L/(N+1)}
w
i
=
Δ
x
{\displaystyle w_{i}=\Delta x}
在討論誤差時，需注意到平面波的乘積也是平面波，
ϕ
a
+
ϕ
b
=
ϕ
c
{\displaystyle \phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}}
c
≤
a
+
b
{\displaystyle c\leq a+b}
f
(
x
)
,
V
(
x
)
{\displaystyle f(x),V(x)}
N
f
,
N
V
{\displaystyle N_{f},N_{V}}
N
f
+
N
V
{\displaystyle N_{f}+N_{V}}
平面波的擴展一般效果較差，需要許多的基底函數才能收斂。不過。基底展開和格點表示的轉換可以用快速傅立葉轉換 進行，其時間複雜度較低，為
N
ln
N
{\displaystyle N\ln N}
另一種常見的展開方式是多項式，此處會使用高斯求積 （Gaussian quadrature），其中提到可以找到加權係數
w
i
{\displaystyle w_{i}}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
∫
a
b
w
(
x
)
p
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
0
N
w
i
p
(
x
i
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=0}^{N}w_{i}p(x_{i})}
對任意的
2
N
+
1
{\displaystyle 2N+1}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
w
(
x
)
{\displaystyle w(x)}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
ϕ
n
(
x
)
=
w
(
x
)
P
n
(
x
)
{\displaystyle \phi _{n}(x)={\sqrt {w(x)}}P_{n}(x)}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
n
{\displaystyle n}
∫
a
b
w
(
x
)
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
δ
m
n
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)dx=\delta _{mn}.}
在上述條件下，the
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}
有關其誤差，若
f
{\displaystyle f}
N
f
{\displaystyle N_{f}}
V
{\displaystyle V}
N
V
{\displaystyle N_{V}}
N
f
+
N
V
{\displaystyle N_{f}+N_{V}}
在一些標準問題中，會出現這些多項式。例如量子簡諧振動子可以擴展為埃爾米特多項式 ，而在轉動問題中，會用雅可比多項式 來定義相關的勒壤得多項式 。
Orszag, Steven A. Numerical Methods for the Simulation of Turbulence. Physics of Fluids. 1969, 12 (12): II–250. doi:10.1063/1.1692445 Gottlieb, David; Orszag, Steven A. Numerical analysis of spectral methods : theory and applications 5. print. Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics. 1989. ISBN 978-0898710236 Hesthaven, Jan S.; Gottlieb, Sigal; Gottlieb, David. Spectral methods for time-dependent problems 1. publ. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. 2007. ISBN 9780521792110 Trefethen, Lloyd N. Spectral methods in MATLAB 3rd. repr. Philadelphia, Pa: SIAM. 2000. ISBN 978-0-89871-465-4 Fornberg, Bengt. A Practical Guide to Pseudospectral Methods. Cambridge: Cambridge University Press. 1996. ISBN 9780511626357 Boyd, John P. Chebyshev and Fourier spectral methods 2nd ed., rev. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2001 [2019-07-17 ] . ISBN 978-0486411835存檔 於2019-06-24）. Funaro, Daniele. Polynomial approximation of differential equations . Berlin: Springer-Verlag. 1992 [2019-07-17 ] . ISBN 978-3-540-46783-0存檔 於2011-07-22）. de Frutos, Javier; Novo, Julia. A Spectral Element Method for the Navier--Stokes Equations with Improved Accuracy. SIAM Journal on Numerical Analysis. January 2000, 38 (3): 799–819. doi:10.1137/S0036142999351984 Claudio, Canuto; M. Yousuff, Hussaini; Alfio, Quarteroni; Thomas A., Zang. Spectral methods fundamentals in single domains. Berlin: Springer-Verlag. 2006. ISBN 978-3-540-30726-6 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP. Section 20.7. Spectral Methods . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd. New York: Cambridge University Press. 2007 [2019-07-17 ] . ISBN 978-0-521-88068-8存檔 於2011-08-11）.
![{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\Bigl [}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x){\Bigr ]}\psi (x,t),\qquad \qquad \psi (t_{0})=\psi _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ff60cb5481245d7af047117c1fdc06276d7ca0)
![{\displaystyle [0,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e3bfad6c2b8297e8c8d2e84ce8f869d69b0d86)
