正交座標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標$\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{n})$，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者採用愛因斯坦記號對坐標標號使用上標並非表示指數）。坐標曲面定義為特定坐標$q_{i}$的等值曲面，即$q_{i}$為常數的曲線、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標$(x,\ y,\ z)$是一種正交坐標系，它的$x$為常數，$y$為常數，$z$為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐標系是曲線坐標系的特殊的但極其常見的形式。

動機

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程式。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子$H_{2}\,^{-}$的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的$n$維問題變為$n$個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程式或亥姆霍茲方程式，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程式可以在13個正交坐標系中分離（本文列出的14個中圓環坐標系除外），而亥姆霍茲方程式可以在11個正交坐標系中分離。

概述

共形映射作用於矩形網格。注意，彎曲的網格的正交性被保留。

正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方$ds^{2}$，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

$ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}dq_{i}\right)^{2}$；

其中，$n$是維數，標度因子$h_{i}$是度規張量的對角元素$g_{ii}$的平方根：

$h_{i}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{ii}(\mathbf {q} )}}$。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系$(x,\ y)$的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數$z=x+iy$的任何全純函數$w=f(z)$，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為$w=u+iv$，則$u$與$v$的等值曲線以直角相交，就如同原本的$x$與$y$的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐標可以從一些必要的坐標曲面/曲線起步並通過考慮它們的正交軌跡線而得到。

向量代數

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$。

向量微積分

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標$q_{i}$的無窮小改變$dq_{i}$，其相伴的長度是$ds_{i}=h_{i}dq_{i}$。因此，一個位移向量的全微分$d\mathbf {r}$等於

$d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}h_{i}dq_{i}\mathbf {e} _{i}$；

其中，$\mathbf {e} _{i}$是垂直於$q_{i}$等值曲面的單位向量，指向著$q_{i}$增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量$\mathbf {F}$沿著周線$\mathbb {C}$的線積分等於

$\int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {C} }F_{i}h_{i}dq_{i}$；

其中，$F_{i}$是向量$\mathbf {F}$在單位向量$\mathbf {e} _{i}$方向的分量：

$F_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F}$。

類似地，一個無窮小面積元素是

$dA=ds_{i}ds_{j}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j},\qquad i\neq j$，

一個無窮小體積元素是

$dV=ds_{i}ds_{j}ds_{k}=h_{i}h_{j}h_{k}dq_{i}dq_{j}dq_{k},\qquad i\neq j\neq k$。

例如，向量$\mathbf {F}$對於一個曲面$\mathbb {S}$的曲面積分是

$\int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}+\int _{\mathbb {S} }F_{2}h_{3}h_{1}dq_{3}dq_{1}+\int _{\mathbb {S} }F_{3}h_{1}h_{2}dq_{1}dq_{2}$。

球坐標系實例

直角坐標$(x,\ y,\ z)$與球坐標$(r,\ \theta ,\phi )$的變換方程式為

$x=r\sin \theta \cos \phi$、

$y=r\sin \theta \sin \phi$、

$z=r\cos \theta$。

直角坐標的全微分是

$dx=\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin \phi d\phi$、

$dy=\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi$、

$dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta$。

所以，無窮小距離的平方是

${\begin{aligned}ds^{2}&=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\\&=dr^{2}+(rd\theta )^{2}+(r\sin \theta d\phi )^{2}\\\end{aligned}}$ 。

標度因子是

$h_{r}=1$、

$h_{\theta }=r$、

$h_{\phi }=r\sin \theta$。

向量$\mathbf {F}$沿著周線$\mathbb {C}$的線積分等於

$\int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbb {C} }F_{r}\ dr+F_{\theta }\ rd\theta +F_{\phi }\ r\sin \theta d\phi$。

向量$\mathbf {F}$對於一個曲面$\mathbb {S}$的曲面積分是

$\int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{r}\ r^{2}\sin \theta d\theta d\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\theta }\ r\sin \theta drd\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\phi }\ rdrd\theta$。

三維微分算子

主條目：向量分析和Nabla算子

算子	正交坐標公式
純量場的梯度	$\nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}$
向量場的散度	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]$
向量場的旋度	${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}$
純量場的拉普拉斯算子	$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]$

上面表達式可以使用列維-奇維塔符號$\epsilon$的更簡潔形式書寫，定義$H=h_{1}h_{2}h_{3}$，並使用愛因斯坦記號，即在同時出現上標和下標的項目上求此項所有可能的總和:

算子	表達式
純量場的梯度	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}$
向量場的散度	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}}}F_{k}\right)$
向量場（只3D）的旋度	$\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)_{k}={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{H}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)$
純量場的拉普拉斯算子	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

二維正交坐標系表格

坐標系	複數轉換 $x+iy=f(u+iv)$	$u$和$v$等值線的形狀	注釋
直角	$u+iv$	直線, 直線
對數極	$\exp(u+iv)$	圓, 直線	若$u=\ln r$則為極坐標系
拋物線	${\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}$	拋物線, 拋物線
點偶極	$(u+iv)^{-1}$	圓, 圓
橢圓	$\cosh(u+iv)$	橢圓, 雙曲線	對於大距離看似對數極
雙極	$\coth(u+iv)$	圓, 圓	對於大距離看似點偶極
	${\sqrt {u+iv}}$	雙曲線, 雙曲線
	$u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}$	橢圓, 拋物線

直角

單極

對數極

橢圓-拋物線

拋物線

點偶極

sqrt(u+iv)

橢圓

雙極

反對數極

三維正交坐標系表格

除了直角坐標系之外，下表列出其他常見的正交坐標系，為了簡明性在坐標列中使用了區間符號。

曲線坐標 (q1, q2, q3)	從直角坐標(x, y, z)轉換	縮放因子
球極坐標系 $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
圓柱坐標系 $(\rho ,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=\rho \cos \phi \\y&=\rho \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=\rho \end{aligned}}$
拋物柱面坐標系 $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
拋物線坐標系 $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
橢圓柱坐標系 $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
長球面坐標系 $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
扁球面坐標系 $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
雙極圓柱坐標系 $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
圓環坐標系 $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
雙球坐標系 $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
圓錐坐標系 ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$
拋物面坐標系 ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}$ 其中 $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
橢球坐標系 ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ 其中 $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$

微分算子導引

梯度導引

一個函數$\phi$的梯度朝某個方向${\hat {\mathbf {n} }}$的分量，等於方向導數 ${\frac {d\phi }{ds}}$朝${\hat {\mathbf {n} }}$方向的值：

$\nabla \Phi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {d\phi }{ds}}$；

其中，$ds$是朝${\hat {\mathbf {n} }}$方向的無窮小位移。

假若，這${\hat {\mathbf {n} }}$與正交坐標軸${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$同方向。那麼，$ds=h_{i}dq_{i}$。所以，函數$\phi$的梯度朝${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$的分量是${\frac {\partial \phi }{h_{i}\partial q_{i}}}$；也就是說，

$\nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}$。

散度導引

$\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})$。

取右手邊第一個項目，

$\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \cdot \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)\right]$。

應用向量恆等式$\nabla \cdot (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot (\nabla \phi )$與$\nabla \cdot (\nabla \phi _{1}\times \nabla \phi _{2})=0$，可以得到

${\begin{aligned}\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot [(\nabla q_{2})\times \nabla (q_{3})]+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})\\\end{aligned}}$ 。

總合所有項目，

$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]$。

旋度導引

$\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})$。

取右手邊第一個項目，

$\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \times \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\left(h_{1}F_{1}\right)\right]$。

應用向量恆等式$\nabla \times (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \phi )$，

${\begin{aligned}\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{1}F_{1})\nabla \times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \nabla (h_{1}F_{1})\\&=(h_{1}F_{1})\nabla \times (\nabla q_{1})-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})\right)\\\end{aligned}}$。

應用向量恆等式$\nabla \times (\nabla \phi )=0$，

$\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{1}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})-{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})$。

總合所有項目，

${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}$ 。

拉普拉斯算子

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]$。

參見

• 坐標系
• 曲線坐標系
• 斜交坐標系（度規張量有非對角項目）
• 在圓柱和球坐標系中的del

參考文獻

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。

• Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

• Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。