狄拉克算子

數學量子力學中,狄拉克算子(英語:Dirac operator)是一個微分算子,它是二階微分算子(如拉普拉斯算子)的形式平方根。保羅·狄拉克研究的原始案例是形式分解閔可夫斯基空間的算子,得到一種與狹義相對論兼容的量子理論形式;為了得到由一階算子產生的拉普拉斯算子,他引入了旋量

形式定義

一般的,令D是作用於黎曼流形M上的向量叢V的一階微分算子。如果

 

其中∆是V上的拉普拉斯算子,則D被稱為狄拉克算子

高能物理中,這個條件經常被放鬆:只有D2的二階部分必須等於拉普拉斯算子。

例子

例1: D=-ix是作用在直線上的切線叢的狄拉克算子。

例2: 我們現在考慮一個物理學中重要的簡單叢:一個限制在平面上帶有½自旋的粒子的位形空間,這也是一個基本流形。它被表示為波函數ψ: R2C2

 

其中x和y是R2上的坐標。χ表示自旋向上粒子的概率幅,η與之類似。所謂的自旋狄拉克算子可以被寫為

 

其中σi泡利矩陣。通過泡利矩陣的反對易關係可以知道上面定義的性質是顯然的。這些定義了克利福德代數的概念。

旋量場的狄拉克方程的解常被稱為調和旋量。

例3: 描述三維空間中自由費米子的傳播的狄拉克算子可以寫為

 

其中用到費曼斜線標記

例4:克利福德分析英語Clifford analysis中也有狄拉克算子。 在n維歐幾里得空間中是

 

其中{ej: j = 1, ..., n}是n維歐幾里得空間的標準正交基,考慮Rn嵌入一個克利福德代數

這是阿蒂亞-辛格-狄拉克算子作用於旋量叢的特殊情形。

例5: 對於一個自旋流形英語spin manifoldM,阿蒂亞-辛格-狄拉克算子局部定義如下:對於xMM在x處的切空間的局部標準正交基e1(x), ..., ej(x),阿蒂亞-辛格-狄拉克算子是

 ,

其中 是從M上的列維-奇維塔聯絡M上的旋量叢的提升。

推廣

在克利福德分析中,算子D: C(RkRn,S)→C(RkRn,CkS)作用在如下定義的旋量值函數

 

有時被稱為k克利福德變量的狄拉克算子。上面符號中,是旋量空間,S是旋量空間,  是n維變量, 是狄拉克算子在第i個變量的分量。這是狄拉克算子(k=1)和杜比爾特算子英語Dolbeault operatorn=2k 任意)的一般推廣。這是一個不變微分算子英語invariant differential operator,在群SL(k)×Spin(n)的作用下不變。D分解只在一些特殊情形是已知的。

另請參閱

參考資料