球諧函數

球諧函數拉普拉斯方程式球坐標系形式解的角度部分。在古典場論量子力學等領域廣泛應用。

函數的推導

本微分方程式的推導

球坐標下的拉普拉斯方程式:

 
 
實值的球諧函數 Ylm,l = 0 到 4 (由上至下),m=0 到 4(由左至右)。負數階球諧函數 Yl,-m 可由正數階函數對 z-軸轉 90/m 度得到。

利用分離變量法,設定   。其中 代表角度部分的解,也就是球諧函數

代入拉普拉斯方程式,得到:

 

分離變量後得:

  ,整理得 

本徵方程式的求解

這裡, 是一個以 為週期的函數,即滿足週期性邊界條件 ,因此 必須為整數。而且可以解出:

  

而對於 的方程式,進行變量替換    ,得到關於 的伴隨勒讓德方程式。方程式的解應滿足在 區間上取有限值,此時必須有 ,其中 為自然數,且 。對應方程式的解為 。即可以解出:

  

故球諧函數可以表達為:

  

其中N 是歸一化因子。

經過歸一化後,球諧函數表達為:

 

這裡的   稱為    的球諧函數。以上推導過程中, 虛數單位 伴隨勒讓德多項式

其中  用方程式定義為:

 

  勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

 

前幾階球諧函數

        極坐標中的表達式 直角坐標中的表達式 量子力學中的記號
0 0          
1 0          
1 +1            
1 -1          
2 0          
2 +1            
2 -1          
2 +2            
2 -2          
3 0          
3 +1            
3 -1          
3 +2            
3 -2          
3 +3            
3 -3          

 

 

 

 
 
 

 

 
 
 
 
 

參見