在數學中,瑞利商(英語:Rayleigh quotient)定義為:[1][2]

式中,為復埃爾米特矩陣為非零向量。對實矩陣和向量,對矩陣的埃爾米特矩陣要求退化為對稱矩陣,對向量的共軛轉置退化為轉置

對所有非零純量成立。

埃爾米特矩陣(或實對稱矩陣)只具有實特徵值且可對角化,由此,對於給定矩陣,其瑞利商達到最小值λ(的最小特徵值)當(最小特徵值對應的特徵向量);類似的:[2]

瑞利商使用最小最大定理英語Min-max_theorem(min-max theorem)獲得所有特徵值的精確值。它還用於特徵值算法(如瑞利商迭代英語Rayleigh_quotient_iteration),從特徵向量近似值中獲得特徵值近似值。

量子力學中,瑞利商給出了狀態為的系統中算子觀測值的期望值

埃爾米特矩陣M的界

對於任意向量 ,其瑞利商滿足 ,其中 分別代表矩陣 的最小特徵值和最大特徵值。觀察定義可知,矩陣 的瑞利商等價於其特徵值的加權和: 其中 是第 個歸一化後的特徵值-特徵向量對,  在特徵基中的第 個坐標。可以驗證,當 為矩陣 最小(最大)特徵值對應的特徵向量  )時, 取值達到其下(上)界。

參考文獻

  1. ^ 史, 榮昌; 魏, 豐. 矩阵分析. 北京: 北京理工大學. 2010: 144–147. ISBN 9787564031893. 
  2. ^ 2.0 2.1 張, 賢達. 矩阵分析与应用. 北京: 清華大學. 2013: 442–447. ISBN 9787302338598.