符號函數

提取實數符號的數學函數
符號函數
性質
奇偶性 奇函數
定義域 (-∞,∞)
到達域
周期 N/A
特定值
當x=0 0
當x=+∞ 1
當x=-∞ -1
最大值 1
最小值 -1
其他性質
漸近線 N/A
0
臨界點 N/A
拐點 N/A
不動點 0,1,-1

符號函數Sign function,簡稱sgn)是一個邏輯函數,用以判斷實數的正號。為避免和英文讀音相似的正弦函數(sine)混淆,它亦稱為Signum function。其定義為:

符號函數的微分
符號函數(藍色)、符號函數的微分(橘色),其中,符號函數的微分正好是2倍的狄拉克δ函數

性質

艾佛森括號定義:

 

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積:

 

若x不為零,可以由上式得出符號函數的另一個定義:

 

符號函數是絕對值函數的導數:

 

除了在0,符號函數可微分,其導數為0。透過一般化微分概念,可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍:

 

它和單位步階函數的關係:

 

推廣到複數

符號函數可以推廣到複數:對於任意 

 

對於任何z ,除了z = 0以外。複數z的符號函數,是複平面上中心為原點單位圓上距離z最近的點。那麼,對於z ≠ 0,有:

 

其中arg表示輻角
出於對稱的原因,並且為了實現對實數的符號函數的適當推廣,對於z = 0,也常常在複數域中定義:

 

符號函數在複數範圍的另外一個推廣是csgn函數,定義為:

 

即是在一四象限及 xy 軸正半軸為1,二三象限及 xy 軸負半軸為-1,原點為0。
對於 csgn,我們有(除了z = 0以外):