算術幾何

在數學中，算術幾何（arithmetic geometry）大致是從代數幾何到數論問題的技術的應用。算術幾何圍繞著丟番圖幾何，這是代數簇有理點的研究。

用更抽象的術語來說，算術幾何可以定義為對整數環的譜內的有限概形(scheme)方案的研究。

概述

算術幾何主要的研究對象是有理點：即多項式方程組在代數數域、有限域、P進數、或函數域上的解集。(研究對象是非代數閉域,所以不包括本來即為代數閉域的實數域。) 有理點的特徵可以用衡量其算術複雜性的高度函數(height function)來表示。

隨著代數幾何的現代抽象發展，當前的主要的研究方向是在非代數閉域上定義的代數簇的結構。在有限域上，平展上同調(Étale cohomology)提供了與代數簇相關的拓撲不變量。霍奇理論提供了工具來檢查複數上的上同調性質如何擴展到P進數上。

歷史

算術幾何原指從法爾廷斯（Faltings,G.）、奎倫（Quillen,D.G.）等的算術曲面上黎曼-羅赫定理開始的一系列研究工作，現在一般指所有以數論為背景或目的的代數幾何。在算術幾何中許多學科起著重要作用，並且相互交叉和滲透，包括數論、模形式、表示論、代數幾何、代數數論、李群、多複變函數論、黎曼面、K理論等，所以，它是典型的邊緣學科。丟番圖方程是算術幾何的一個重要課題，其中的問題可以自然地用幾何語言表達。在許多著名問題如莫德爾猜想、費馬大定理等的研究中，都表明幾何方法的必要性。這正是算術幾何的生命力所在。

根據莫德爾猜想(法爾廷斯定理)形如$y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)$的超橢圓曲線的有理點解是有限的,$(-2.0),(-1,0)$

參閱

• 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想