緊緻元素
在數學領域的序理論中，偏序集合的緊緻或有限元素是還未包含在緊緻元素之上的成員的任何非空有向子集的上確界所不能包容的那些元素。
形式定義
在偏序集合 (P,≤) 中，元素 c 被稱為是緊緻的(或有限的)，如果它滿足下列等價的條件中的一個:
- 對於 P 的所有非空有向子集 D，如果 D 有上確界 sup(D) 且 c ≤ sup(D) ，則有 D 的某個元素 d 使得 c ≤ d。
- 對於 P 的所有理想 I，如果 I 有上確界 sup(I) 且 c ≤ sup(I)，則 c 是 I 的一個元素。
如果此外偏序集合 P 還是並半格 (就是說它有二元上確界)則這些條件等價於聲稱:
- 對於 P 的任何非空子集 S，如果 S 有上確界 sup(S) 且 c ≤ sup(S)，則有 S 的某個有限子集 T 使得 c ≤ sup(T)。
特別是，如果 c = sup(S)，則 c 是 S 的有限子集的上確界。
從定義涉及的概念可輕易的驗證等價性。對並半格的情況要注意任何集合通過閉合在有限(非空)上確界下變成帶有相同上確界的有向集合。
在考慮有向完全偏序或完全格的時候，規定上確界存在的額外的要求可以去掉。還要注意是有向完全的並半格幾乎就是完全格(可能缺乏最小元) -- 詳情參見完全性 (序理論)。
如果存在的話，偏序集合的最小元總是緊緻的。它可能是唯一的緊緻元素，比如實數的單位區間 [0,1]。
例子
代數偏序
所有元素都是其下緊緻元素的上確界的偏序集合叫做「代數偏序集合」。這種偏序集合是在域理論中最常用的有向完全偏序集合。「代數格」是完全格 L，如果 L 的所有元素 x 是在 x 下的緊緻元素的上確界。典型例子(體現了名字「代數」的動機)為如下:
對於任何代數 A (比如，群、環、域、格等；甚至是沒有任何運算的單純的集合)，設 Sub(A) 是 A 的所有子結構的集合，就是說在 A 的所有運算(群加法，環加法和乘法等)下保持封閉的所有子集的集合。這裡的子結構概念包括在代數 A 有零元運算的情況下的空子結構。
那麼:
- 集合 Sub(A) 按集合包含排序是個格。
- Sub(A) 的最大元是集合 A 自身。
- 對於 Sub(A) 中任何 S 和 T，S 和 T 的最大下界是 S 和 T 的集合意義下的交集；最小上界是 S 和 T 的併集生成的子代數。
- 集合 Sub(A) 是完全格。任何子集的族的最大下界是它們的交集。
- Sub(A) 的緊緻元素精確是 A 的有限生成的子結構。
- 所有子結構都是它的有限生成的子結構的併集；因此 Sub(A) 是代數格。
還有一個逆命題成立: 所有代數格同構於某個代數 A 的 Sub(A)。
有另一個代數格在泛代數中扮演重要角色: 對於所有代數 A 我們設 Con(A) 是在 A 上所有同餘關係的集合。在 A 上的每個同餘都是積代數 A×A 的一個子代數，所以 Con(A) ⊆ Sub(AxA)。我們有著
- Con(A) 按集合包含排序是個格。
- Con(A) 的最大元素是集合 A×A，它是對應於恆(constant)同態的同餘。最小同餘是 A×A 的對角線，對應於同構。
- Con(A) 是完全格。
- Con(A) 的緊緻元素精確的是有限生成的同餘。
- Con(A) 是代數格。
還有一個逆命題成立: 通過 G. Grätzer 和 E.T.Schmidt 的一個定理，所有代數格同構於某個代數 A 的 Con(A)。
應用
緊緻元素在計算機科學中的叫做域理論的形式語義方法中很重要，這裡它們被認為是某種基本元素: 緊緻元素表示的信息不能通過從未包含這個知識的任何逼近來獲得。緊緻元素不能從嚴格低於它們的元素逼近。在另一方面，碰巧會有所有非緊緻元素可以獲得為緊緻元素的上確界。這是需要的情況，因為緊緻元素的集合經常小於最初的偏序集合 – 上面的例子就是展示。