緊緻開拓撲

在數學中，緊緻開拓撲是定義在兩個拓撲空間之間的所有連續映射的集合上的一種拓撲。緊緻開拓撲是函數空間上的常用拓撲之一，在同倫理論和泛函分析中有應用。

定義

設 X、Y 為兩個拓撲空間，令C(X, Y) 為所有從X 射到 Y 上的連續映射的集合。對於X 中的一個緊集K 和 Y 中的一個開集U，設V(K, U) 為集合 C(X, Y)中所有使得f(K)屬於 U 的映射的集合。所有的V(K, U) 構成緊緻開拓撲的一個子基（但一般不構成C(X, Y)上的一個拓撲基）。

性質

• 如果 * 是一個單點空間，那麼可以將C(*, X) 等同於 X。在這種情況下，C(*, X) 上面的緊緻開拓撲就等同於X 上的拓撲。
• 如果Y 是T₀空間、T₁空間、豪斯多夫空間、正則空間或者吉洪諾夫空間的話，那麼對應的緊緻開拓撲滿足分離公理。
• 如果 X 是豪斯多夫空間，並且S 是Y 的一個子基，那麼集合$\left\{V(K,U):U\in S\right\}$ 是 C(X, Y) 上的緊緻開拓撲的一個子基。
• 如果 Y 是一致空間（特別來說，如果 Y 是一個度量空間），那麼其對應的緊緻開拓撲等價於緊收斂拓撲。換句話說，如果 Y 是一致空間的話，那麼一個函數序列 {f_n}在緊緻開拓撲上收斂到一個極限（設為 f）若且唯若對 X 所有的緊子集 K，{f_n} 都在K 上一致收斂到 f。特別地，如果 X 是緊集，而 Y 是一致空間，那麼其對應的緊緻開拓撲等價於基於一致收斂的拓撲。
• 如果 X、Y 和 Z 是三個拓撲空間，其中Y 是局部豪斯多夫緊緻的（或者僅僅是准正則的），那麼由關係：(f, g) $\mapsto$ fog 所給出的複合映射 C(Y, Z) × C(X, Y) → C(X, Z) 是連續的（這裡所有的映射空間都使用相應的緊緻開拓撲，而 C(Y, Z) × C(X, Y)上的是積拓撲）。
• 如果 Y 是局部豪斯多夫緊緻的（或者僅僅是准正則的），那麼賦值函數e : C(Y, Z) × Y → Z（定義為e(f, x) = f(x)）是連續函數。這可以看成上一個性質在X 為單點空間時的特例。
• 如果 X 是緊空間，Y 是裝備有距離 d 的度量空間，那麼C(X, Y) 上的緊緻開映射是可度量的，並且其上的距離由函數 $e(f,g)=\sup \left\{d(f(x),g(x)):x\in X\right\}$ 所給出。

參見

• 有界開拓撲

參考來源

• Dugundji, James. Topology. Boston, Massachusetts: Allyn and Bacon. 1966. ISBN B000-KWE22-K. 
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev (2007) Textbook in Problems on Elementary Topology （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• 紧致开拓扑. PlanetMath.