累積量

統計學名詞

機率論統計學中,一個機率分布累積量κn(英語:Cumulant)是指一系列能夠提供和動差一樣的資訊的量。累積量和隨機變數的動差密切相關。如果兩個隨機變數的各階動差都一樣,那麼它們的累積量也都一樣,反之亦然。

對於隨機變數而言,一階累積量等於期望值,二階累積量等於變異數,三階累積量等於三階主動差,但是四階以及更高階的累積量與同階的主動差並不相等。在某些理論推導中,使用累積量更加方便。特別是當兩個或者更多的隨機變數相互獨立時,它們的 階累積量的和等於它們和的階累積量。另外,服從常態分布的隨機變數的三階及以上的累積量為

定義

一個隨機變數  階累積量 可以用累積生成函數來定義

 

從上面的觀察可知,累積量可以通過對生成函數 (在0處)進行求導得到。也就是說,累積量是 麥克勞林級數的係數。

 

如果使用 (沒有中心化)的 階動差 動差生成函數則可以定義:

 

使用形式冪級數定義的對數函數

 

隨機變數的累積量和隨機變數的動差密切相關。比如說,隨機變數X有期望值 變異數   ,那麼它們也是前兩階的累積量:  

要注意有時候 階動差會用角括號來表示: ,累積量則用下標 的角括號表示: 


如果隨機變數的動差生成函數不存在,那麼可以通過後面對於累積量與動差之間的關係的討論定義累積量。


有些作者[1][2]偏向於定義累積生成函數為隨機變數的特徵函數誘導的自然對數。這種定義下的累積生成函數也被稱為隨機變數的第二類特徵函數[3][4]

 

統計數學中的應用

使用累積量的一個優勢是它對應的生成函數是加性函數。比如說對兩個獨立的隨機變數  

 

它們的和的累積量是各自的累積量的和。

一些具體機率分布的累積量

  • 常數 的累積生成函數是  。 一階累積量是 ,其他階的累積量均為0,  
  • 服從伯努利分布的隨機變數的累積生成函數是  。一階累積量是 ,二階累積量是 ,累積量滿足遞推公式
 
  • 服從幾何分布的隨機變數的累積生成函數是 。 一階累積量是 ,二階累積量是 
  • 服從卜瓦松分布的隨機變數的累積生成函數是 。所有的累積量軍等於母數 :  
  • 服從二項分布的隨機變數的累積生成函數是 。 一階累積量是 ,二階累積量是 
  • 服從負二項分布的隨機變數的累積生成函數的導數是 。一階累積量是 ,二階累積量是 

相關條目

參考來源

  1. ^ Kendall, M.G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
  2. ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)
  3. ^ Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)
  4. ^ Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)

外部連結