經典力學
質量與慣量
通用名
|
通用符號
|
定義
|
國際單位制
|
量綱
|
線/表面/體積質量密度
|
λ或μ用於線密度(μ主要用在聲學),σ用於表面,ρ用於體積。
|
|
kg m−n, n = 1, 2, 3
|
M L−n
|
質量矩[5]
|
m (沒有通用符號)
|
點質量:
相對固定軸 的離散質量:
相對固定軸 的連續質量:
|
kg m
|
M L
|
質心 |
rcom
(符號不一定)
|
第i個質量
離散質量:
連續質量:
|
m
|
L
|
二體約化質量
|
m12, μ= m1 and m2
|
|
kg
|
M
|
轉動慣量(MOI)
|
I
|
離散質量:
連續質量:
|
kg m2
|
M L2
|
導出的運動學物理量
經典粒子的運動學物理量:質量m、位置r、速度v、加速度a
通用名
|
通用符號
|
定義
|
國際單位制
|
量綱
|
速度 |
v |
|
m s−1 |
L T−1
|
加速度 |
a |
|
m s−2 |
L T−2
|
加加速度 |
j |
|
m s−3 |
L T−3
|
Jounce |
s |
|
m s−4 |
L T−4
|
角速度 |
ω |
|
rad s−1 |
T−1
|
角加速度 |
α |
|
rad s−2 |
T−2
|
角加加速度 |
ζ |
|
rad s−3 |
T−3
|
導出的動力學物理量
經典力學下物質的角動量。
左: 固有的自旋角動量S是物體每一點的軌道角動量
右: 對應一個軸的外在軌道角動量L
上:轉動慣量 I以及角速度ω(L不一定會和ω平行)[6]
下:動量p以及其相對於軸的位置r
。總角動量(spin + orbital)為J
一般能量定義
通用名
|
通用符號
|
定義
|
國際單位制
|
量綱
|
合力産生的功
|
W |
|
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
|
力學系統所作的功
|
WON, WBY |
|
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
|
勢能 |
φ, Φ, U, V, Ep |
|
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
|
機械功率
|
P |
|
W = J s−1 |
M L2 T−3
|
每一個保守力都有對應的勢能。根據以下二個原理,可以設定勢能U的值:
- 保守力為零的時候,勢能也定義為零。
- 保守力作功時,勢能減少。
廣義力學
通用名
|
通用符號
|
定義
|
國際單位制
|
量綱
|
廣義座標
|
q, Q
|
|
不一定
|
不一定
|
廣義速度
|
|
|
不一定
|
不一定
|
廣義動量
|
p, P
|
|
不一定
|
不一定
|
拉格朗日量
|
L
|
其中 以及 p = p(t) 分別是廣義座標以及動量的向量,是時間的函數。
|
J
|
M L2 T−2
|
哈密頓量
|
H
|
|
J
|
M L2 T−2
|
作用量,哈密頓主函數
|
S,
|
|
J s
|
M L2 T−1
|
運動學
在以下轉動的定義中,角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用θ,不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量
定義轉動軸 為r方向上的單位向量, 是和角呈切線的單位向量。
|
平移
|
轉動
|
速度
|
平均:
瞬時:
|
角速度 轉動剛體:
|
加速度
|
平均:
瞬時:
|
角加速度
轉動剛體:
|
加加速度
|
平均:
瞬時:
|
角加加速度
轉動剛體:
|
動力學
|
平移
|
轉動
|
動量
|
針對轉動剛體:
|
角動量
此外積為贗矢量,若r和p都反向(變號),L不會變號。
一般來說,I是二維張量,·表示張量縮並。
|
力和牛頓第二運動定律
|
作用在系統質心上的合力,等於動量的變化率:
針對許多質點的系統,質點i的運動方程式為:[7]
其中pi是第i個質點的動量,Fij,是粒子j作用在粒子i上的力,FE是合外力(來自系統以外的物體)。粒子i不會產生給自身的力。
|
力矩
力矩(torque)τ也稱為moment of a force,是轉動系統中對應力的物理量:[8]
若是剛體,牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式:
若針對許多質點,質點i的運動方程為:[9]
|
Yank
|
Yank是力的變化率:
若是固定質量,會變成下式:
|
Rotatum
Rotatum Ρ也稱為moment of a Yank,因為是是轉動系統中對應Yank的物理量:
|
衝量
|
衝量是動量的變化:
針對固定力F:
|
Twirl或是角衝量是角動量的變化:
針對固定力矩τ:
|
進動
陀螺的進動角速度為:
其中w是自旋物體的重量。
能量
系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化:
通用功—能定理(平移及轉動)
系統以外事物,對曲線路徑C上的質點產生力F(在 r的位置)以及力矩τ,所做成的功W為:
其中θ是相對單位向量n所定義軸的轉動角度。
動能
物體一開始的速度為 ,後來的速度為 ,其動能變化為:
彈性勢能
遵守胡克定律的彈簧,若一端固定,拉長後,其彈性勢能為
其中r2和r1是彈簧未固定端,在拉長後以及拉長前的共線座標,方向是往拉長/壓縮的方向,k是彈簧常數。
剛體運動的歐拉方程
萊昂哈德·歐拉也像牛頓一様,發表了運動定律,可以參見歐拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴展到剛體的運動上,不過本質是相同的。以下是歐拉提出新的運動方程式[10]:
其中I是轉動慣量張量.
通用平面運動
前面平面運動的方程可以用在此處,應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。
以下的結果可應用在質點上。
運動學
|
動力學
|
位置
|
|
速度
|
動量
角動量
|
加速度
|
向心力為
其中的m是質量矩(mass moment),科里奧利力為
科里奧利加速度以及科里奧利也可以寫成:
|
連心力運動
針對質量較大的物體,而且因為其他物體所施加的連心力而運動,連心力只和二物體質心的距離有關,其運動方程為:
定加速度運動方程
伽利略座標系變換
在古典(伽利略-牛頓)力學裡,將物理定律從一個慣性或加速(包括旋轉)坐標系(參考坐標系是以定速移動,其中包括零速)變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。
以下標示r, v, a 的物理量是在坐標系F的位置、速度、加速度物理量,而標示r』, v』, a』 的物理量是在以相對坐標系F移動速度V或是角速度Ω的坐標系F』的的位置、速度、加速度物理量。相對的,F是以相反的速度(—V or —Ω) 相對於F'移動。此情形類似相對加速度。
運動方式
|
慣性坐標系
|
加速坐標系
|
移動
V = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定速度
A = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對(變)加速度
|
相對位置
相對速度
等效加速度
|
相對加速度
假想力
|
轉動
Ω = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定角速度
Λ = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對(變)角加速度
|
相對角位置
相對速度
等效加速度
|
相對加速度
假想力矩
|
將向量T轉換到旋轉座標系
|
機械諧振子
運動方程
物理情況
|
術語
|
平移方程
|
角方程
|
簡諧運動 (SHM)
|
- x = 橫向位移
- θ = 角位移
- A =橫向振幅
- Θ = 角振幅
|
解:
|
解:
|
非受迫阻尼振動
|
|
解(見下文ω):
諧振頻率:
阻尼率:
激發的預期壽命(Expected lifetime of excitation):
|
解:
諧振頻率:
阻尼率:
激發的預期壽命(Expected lifetime of excitation):
|
相關條目
參考資料
參考書目
- Arnold, Vladimir I., Mathematical Methods of Classical Mechanics 2nd, Springer, 1989, ISBN 978-0-387-96890-2
- Berkshire, Frank H.; Kibble, T. W. B., Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) 5th, Imperial College Press, 2004, ISBN 978-1-86094-435-2
- Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001, ISBN 978-0-262-19455-6