腎形線(nephroid)是外形類似腎臟平面曲線,其英文nephroid源自希臘語的 ὁ νεφρός (ho nephros),和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指Richard A. Proctor英語Richard A. Proctor在1878年提出的曲線,不過有時也會用來描述其他曲線[1][2]

腎形線可以用在一圓上滖動的圓來產生

腎形線是六度的代數曲線,可以用一個半徑為 的圓在半徑為的固定圓上滾動而得,因此腎形線也屬於外擺線,有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線,因此也是若爾當曲線

方程式

 
腎形線的定義
 
杯底的腎形線焦散英語Caustic (optics)

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動,若小圓的半徑為 ,固定圓的圓心在 ,半徑為 ,小圓的滾動角為 ,啟始點為 (如圖所示),則可以得到腎形線的

  • 參數式
 
 

   代入以下方程

  •  

可知上述方程即為腎形線的隱函數表示式英語Implicit curve

若尖點是在Y軸上,則參數式為

 

隱函數表示式為

 

性質

上述的腎形線,有以下的性質

  • 弧長 
  • 面積 
  • 曲率半徑 

參考資料

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Nephroid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  2. ^ Nephroid. Maths History. [2022-08-12]. (原始內容存檔於2024-03-15) (英語). 
  • Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
  • Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
  • Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

外部連結