自共變異數

在統計學中，特定時間序列或者連續信號X_t的自共變異數（英語：Autocovariance）是信號與其經過時間平移的信號之間的共變異數。如果序列的每個狀態都有一個平均數E[X_t] = μ_t，那麼自共變異數為

$\,\gamma (i,j)=E[(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})].\,$

其中E是期望值運算符。如果X_t是二階平穩過程，那麼有更加常見的定義：

$\,\gamma (k)=E[(X_{i}-\mu )(X_{i-k}-\mu )].\,$

其中k是信號移動的量值，通常稱為延時。如果用變異數σ²進行歸一化處理，那麼自共變異數就變成了自我相關係數R(k)，即

$R(k)={\frac {\gamma (k)}{\sigma ^{2}}}.\,$

需要注意的是，在有些學科中自共變異數術語等同於自我相關。

我們可以認為自共變異數是某個信號與其自身經過一定時間平移之後的相似性，自共變異數σ²就表示了在那個時延的相關性。經過變異數的歸一化處理將其範圍轉化為[−1, 1]。

參考文獻

• P. G. Hoel (1984): Mathematical Statistics, New York, Wiley

• Lecture notes on autocovariance from WHOI