輻角原理

複分析中,輻角原理Argument principle)或稱柯西輻角原理Cauchy's argument principle)說如果 是在某個圍道 上以及內部一個亞純函數,且 上沒有零點極點,則下列公式成立

圍道 (黑色), 的零點(藍色)以及 的極點(紅色)。

這裡 分別表示 在圍道 內部的零點與極點個數,每個零點計重數,極點計階數。定理的陳述假設圍道 是簡單的,即沒有自交,以及它是逆時針方向定向的。

更一般地,假設 是一條曲線,逆時針方向定向,在複平面中一個開集 可縮為一點。對每個 ,令 繞點 卷繞數。則

這裡第一個求和對 所有零點 進行並計重數,第二個求和在 的所有極點 上進行並計重數。

證明

   的一個零點。我們可將   寫成   這裡   是零點 的重數,從而  。我們有

 

以及

 

    沒有奇點,從而在   解析,這意味著   留數 

   的一個極點。我們可寫成   這裡   是極點 的階數,從而  。我們有

 

以及

 

因為     沒有奇點,從而在   解析。我們發現    的留數是  

將它們放在一起,  的每個   重零點   產生   的一個留數為   的單極點,而   的每個   階極點   產生   的一個留數為   的單極點(這裡一個單極點指一階極點)。另外,可以證明   沒有其它極點,從而沒有其它留數。

留數定理我們有關於   的積分是   與這些留數之和的乘積。總之,每個零點    之和是計重數的零點個數,對極點類似,故我們得到了欲證之結論。

推論

假設   是一個以原點為中心的閉圍道,通過考慮   關於  卷繞數可得出一些推論。我們看到    上的積分是   值的變化。因為   是閉的我們只需考慮    上的變化,它將是   的某個整數倍(但可能繞原點卷多圈)。但從輻角原理

 

約去因子  ,我們得到

 

這裡   表示    上關於  卷繞數,且有 ,(這裡的求和對   所有零點   進行並計重數)。

一個推論是更廣泛的定理,在同樣的假設下,如果    中一個解析函數,則

 

例如,如果   是以一個簡單圍道   內部   為零點的多項式,以及 ,則

 

  的根的次方和對稱多項式

另一個推論是如果我們計算復積分:

 

對一個合適的 ,我們有阿貝爾-普蘭納公式英語Abel–Plana_formula

 

這給出了一個離散和式與它的積分之間的關係。

歷史

按照弗蘭克·史密西斯一書(Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997)的說法,在奧古斯丁·路易·柯西從法國到都靈(當時皮德蒙特-薩丁尼亞王國的首都)的自我放逐途中,柯西於1831年11月2日提出了和上面類似的一個定理(見177頁)。但是根據此書,只提到了零點,沒有極點。柯西的這個定理在許多年後的1974年才以手寫本發表,故很難閱讀。柯西逝世兩年前的1855年發表的一篇論文中,零點與極點都討論了。定理 1 只涉及了零點。柯西1855年論文中的定理 2 說「一個單復變量函數 Z 的對數計量(compteurs logarithmiques,相當於現代教材中的對數留數)等於 Z 與 1/Z 根的個數之差(相當於現代教材中的函數 Z 的零點與極點)。從而現代「輻角原理」可在1855年柯西論文中作為一個定理發現。

應用

反饋控制理論的現代書籍中頻繁用到輻角原理,將其作為奈奎斯特穩定性判據的理論基礎。哈里·奈奎斯特1932年原理的論文(H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932)用一種相當笨拙與原始的方法得出奈奎斯特穩定性判據。在這篇論文中,奈奎斯特完全沒有提到柯西的名字。後來,Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 與 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都從輻角原理得到了奈奎斯特穩定性判據。MacColl (Bell Laboratories) 將輻角原理稱為柯西定理。這樣輻角原理在純粹數學與控制工程學中都有重大影響。現在,輻角原理可在複分析控制工程學的現代教材中都可以找到。

參考文獻

外部連結

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