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集合建構式符號

在數學裡，集合建構式符號（set-builder notation）是常用於描述集合的一種記號，這種描述集合的方式一般也稱為集合抽象化（set abstraction）或set comprehension。一般寫為或，分別只在於論域的不同，前者的元素恰好是那些符合謂詞P的集合，而後者的元素除了符合謂詞P，還得是S的元素。

範例：三角形數的集合

 
海什木（Alhazen）的正整數和公式推導。

以三角形數的集合為例。三角形數有一個規則，它是正整數的和。

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素：

 
 
 
 
 
 
 
 
其中，n是正整數，S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則（即公式）：

 

這個規則可代表集合T中的元素。於是，集合T可以簡寫為：

 

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

集合建構式與一階邏輯

當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個函數）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：

  • 偶數集合 =  是2的倍數 
  • 負數集合 =  是小於0的數 

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在一階邏輯中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：

 

以偶數集合為例，其謂詞 「是2的倍數」。 「 是2的倍數」，被稱為一個命題函數。

集合 的元素必定是另一個集合 的元素 ，使得 為真（亦即， 是 的一個子集），一般表述為：

 或是 

在這裡， 是謂詞， 是主詞（ 集合中的一個元素）， 是一個傳回真假值的命題函數：

 

所以，在數學中，謂詞被視為一種布林值函數。

在實例中，如果沒有指定 集合，就表示 集合是由謂詞 所給出。

集合建構式例句

  • 正整數集合可用下列建構式表示：
    •  是大於0的整數 
    •  
  • 偶數集合可用下列建構式表示：
    •  是2的倍數 
    •  
  • 負數集合可用下列建構式表示：
    •  是小於0的數 
    •  
    •  
  • 平方數集合可用下列建構式表示：
    •  是某個整數的平方 
    •  
    •  
    •   s.t.  

在這裡，有幾個習慣用法：

  • 冒號和豎線是一樣的，意思是「使得（such that，簡寫為s.t.）」。一般來說，冒號與豎線只使用在最前面，接下來的「使得」都使用別的符號，例如s.t.或是 。但是偶爾也會看到這樣的句子，奇數：
 
另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思：
 
  • 一般來說， 是省略不寫的，但是偶爾會看到使用 的句子。一個複雜的例句如下，非平方數：
 

參見

外部連結

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