韋達跳躍

韋達跳越（英語：Vieta jumping）是一個處理數論的證明技巧。通常是藉韋達定理，來對根進行無窮遞降法。

歷史

韋達跳越在國際奧林匹克數學競賽（IMO）裡是一個相對較新的數論解題技巧，在1988年IMO第一次出了這類的題目，且被認為是當年最難的題目。Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述：

六名澳洲解題委員會委員沒有一人在六小時時限內解出。其中有兩名是塞凱賴什·哲爾吉和他老婆，都是有名的解題者和出題者。另外四名是澳洲數論學家。這題被他們標記上雙重星號，意味著這題是極難的。經過一長時間的討論，評審委員仍將他列在該年的最後一題。十一名學生給出了完美的解答。

在十一名學生中，有一名即為知名的菲爾茲獎得主吳寶珠。

標準型韋達跳躍

標準型韋達跳躍的中心概念是反證法，由下列步驟所組成：

1. 假設存在一個不符合題意的解。
2. 藉由此解製造出的最小解$(x,y)$，我們可以找到一個更小的解，但這和最小解$(x,y)$是相違背的。

註：$(x,y)$的"最小"由一個函數$f(x,y)$給出，通常可令$f(x,y)=x+y$。

範例

1988 IMO #6

$a$和$b$是正整數，且$ab+1$整除$a^{2}+b^{2}$。試證${\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$為完全平方數。

1. 令k = a² + b²/ab + 1。我們假設在滿足題目的條件下，存在一個或更多不是完全平方數的解k。
2. 對特定k，使(A, B)為其對應解中A + B最小的，不失一般性可假設A ≥ B。用變數x取代A，重整方程式可得x² – (kB)x + (B² – k) = 0，其中一根為x₁ = A。利用韋達定理，可將另一根表示成x₂ = kB – A或是x₂ = B² – k/A。
3. 從x₂的第一個表示式可得x₂為整數，第二個表示式可得x₂ ≠ 0因為k不是完全平方數。進一步的，我們從x₂² + B²/x₂B + 1 = k > 0可得x₂為正數。最後，從 A ≥ B可推出x₂ = B² − k/A < A，所以x₂ + B < A + B，與A + B為最小矛盾。

常數型韋達跳躍

範例

$a$和$b$是正整數，且$ab$整除$a^{2}+b^{2}+1$，試證$3ab=a^{2}+b^{2}+1$。

幾何解釋

範例

1988 IMO #6一樣可以使用幾何解釋解出。$a$和$b$是正整數，且$ab+1$整除$a^{2}+b^{2}$。試證${\frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}$為完全平方數。

參見辭條

• 韋達定理
• 反證法
• 馬爾可夫方程
• 無窮遞降法