順序統計量

統計樣本中,第k大的值

統計學中,樣本的第順序統計量(英語:Order Statistics)即它從小到大排列時的第個值,常用於非參數估計推斷中。常見的順序統計量包括樣本的最大值最小值中位數等。

記號

任給樣本 ,將其從小到大排成一列,記為: 則其第一順序統計量(即最小值)為 ,第 順序統計量(即最大值)為 

概率

隨機變量 累積分布函數 由下式給出[1]  將累積分布函數求導可得其概率密度函數  

連續均勻樣本

單位區間上的連續型均勻分布取得的樣本,其各順序統計量的邊緣分布屬於Β分布族。此外,任意幾個順序統計量的聯合分布也有簡單的表示。本節將作介紹。藉賴累積分布函數(cdf),該些結果亦可推廣到任意連續分佈。

本節中, 表示以 為cdf的一組隨機樣本。記 ,則 是從標準連續均勻分布抽取的對應樣本。由 的單調性,後者的順序統計量為 

順序統計量 的概率密度函數(pdf)等於[2]

 

換言之,均勻分佈的第 順序統計量遵循Β分布[2][3]

 

證明如下:欲使 介乎  之間,樣本須恰有 個元素小於 ,並至少有一個介乎  之間。該區間包含多於一個元素的概率已是 (使用了大O符號),故衹需計算   三區間分別恰有   個元素的概率。此即三項分佈英語multinomial distribution概率

 

故上述pdf公式成立。該分佈的平均值為 

參考文獻

  1. ^ Order Statistics. www.math.uah.edu. [2016-07-28]. (原始內容存檔於2017-08-13). 
  2. ^ 2.0 2.1 Gentle, James E. Computational Statistics. Springer. 2009: 63. ISBN 9780387981444 (英語). 
  3. ^ Jones, M. C. Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages. Statistical Methodology. 2009, 6 (1): 70–81. doi:10.1016/j.stamet.2008.04.001. As is well known, the beta distribution is the distribution of the m’th order statistic from a random sample of size n from the uniform distribution (on (0,1)).