F-分布

在機率論和統計學裡，F-分布（F-distribution）是一種連續機率分布，被廣泛應用於概似比率檢定，特別是ANOVA中。

F分布

機率密度函數
累積分布函數
母數	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$自由度
值域	$x\in [0;+\infty )\!$
機率密度函數	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
累積分布函數	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!$
期望值	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ for $d_{2}>2$
眾數	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!$ for $d_{1}>2$
變異數	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ for $d_{2}>4$
偏度	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ for $d_{2}>6$
峰度	見下文

定義

如果隨機變數 X 有母數為 d₁ 和 d₂ 的 F-分布，我們寫作 X ~ F(d₁, d₂)。那麼對於實數 x ≥ 0，X 的機率密度函數 (pdf)是

${\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}$

這裡$\mathrm {B}$是B函數。在很多應用中，母數 d₁ 和 d₂ 是正整數，但對於這些母數為正實數時也有定義。

累積分布函數為

$F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),$

其中 I 是正則不完全貝塔函數。

右邊表格中已給出期望值、變異數和偏度；對於$d_{2}>8$，峰度為：

$\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$.

特徵

一個F-分布的隨機變數是兩個卡方分布變量除以自由度的比率：

${\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}={\frac {U_{1}/U_{2}}{d_{1}/d_{2}}}$

其中：

• U₁和U₂呈卡方分布，它們的自由度（degree of freedom）分別是d₁和d₂。
• U₁和U₂是相互獨立的。

參見

• F檢定