K函數hyper階乘函數在複數上的擴展,如同Γ函數階乘函數在複數上的擴展。 K函數的定義為:

還可以寫成閉合形式:

其中,表示黎曼ζ函數導函數,而則表示赫爾維茨ζ函數的導函數,即

另一種使用多伽瑪函數的表示形式是:[1]

或者使用廣義多伽瑪函數表示為:[2]

其中A表示格萊舍常數(Glaisher constant)。

K函數與Γ函數巴尼斯G函數關係密切。對於自然數n,我們有:

還可以更簡單地寫為:

前幾項為:1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的第A002109號數列).

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參考

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