數學中,Pin 群是一個二次型空間相伴的克利福德代數的一個子群。它有一個到正交群的 2 對 1 映射,就像 Spin 群映到特殊正交群一樣。

從 Pin 群到正交群的映射不是滿的也不是萬有覆疊空間,但對定二次型,兩者都正確。

一般定義

確定形式

 

確定形式的 Pin 群是到正交群的滿射,每個分支都是單連通的:它是正交群的二重覆疊。正定二次型   和它的負形式   不是同構的,但是正交群是同構的 [註 1]

就標準形式而言, ,但是  。使用 Clifford 代數(這裡  )中通用的「±」號記法,我們可以寫成

 

它們都是到   的滿射。

與之對比,我們有同構[註 2]   且他們都是特殊正交群 SO(n) 惟一的萬有覆疊

不定形式

作為拓撲空間

任何連通拓撲群在拓撲意義上有惟一的萬有覆疊空間,這個空間有惟一的群結構作為基本群中心擴張。對一個不連通拓撲空間,含單位元的分支有一個惟一的萬有覆疊,然後在其他分支作為拓撲空間可取同一個覆疊(這是單位分支的主齊性空間),但是其它分支的群結構一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群關聯的獨特的拓撲空間,由 Clifford 代數中得出:存在其他類似的群,對于于其他分支的其他二重覆疊或者其他群結構,但是他們不叫做 Pin 或 Spin 群,研究得也少。

結構

兩個 Pin 群對應於中心擴張

 

 (行列式為 1 的分支)上的群結構已經定義好了;其餘分支的群結構由中心確定,從而有一個   分歧。

兩個擴張由一個反射的原像的平方是   區分,這兩個 Pin 群即是這樣命名的。明確地說,一個反射在   中的指數為 2, ,所以反射的原像的平方(具有行列式 1)一定在   的核中,所以  ,兩種選擇都確定了一個 Pin 群(因為所有反射共軛於聯通群   的中一個元素,所有反射的平方一定具有相同值)。

具體地,在   中,  的指數為 2,子群   的原像是  :如果我們重複同一個反射,得到恆同。

  中,  的指數為 4: 如果重複同一個反射兩次,我們得到了一個「旋轉 2π」——  中的非平凡元可以理解為「旋轉 2π」(每一個軸得出相同的元素)。

低維數

在 2 維,   的區別反映了一個正 2n 邊形的二面體群循環群   的區別。

  中,一個正 2n 邊形的二面體群的原像,視為子群  ,是 2n 邊形的二面體群  ;然而在   中二面體群的原像是循環群  

在 1維,Pin 群共軛於第一個二面體群和循環群:

 

中心

不定 Pin 群

Spin(p,q) 有八種不同的二重覆疊,對  ,這對應於用   中心擴張(中心不是   就是  )。只有其中兩個稱為 Pin 群,他們可以將 Clifford 代數作為一個表示。他們分別稱為 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。

命名

這個群的名稱在 麥可·阿蒂亞拉烏爾·博特、A. Shapiro: Clifford modules(Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17)一文中引入,他們說「這個笑話歸於 J-P. Serre」。這是「Spin」的逆構詞法:Pin 之於 Spin 就像 O(n) 之於 SO(n),從而從「Spin」中去掉「S」得到「Pin」。進一步,詞「Pin」的法語發音和一個粗痞話相同,這暗示了這個名稱的起源於(或被歸於)塞爾。[註 3]

注釋

  1. ^ 事實上,他們可以作為 GL(V) 的子集相等而不僅僅是抽象的同構:保持一個形式的算子等且僅當保持其負形式。
  2. ^ 他們是不通代數的子代數  ,但是他們作為向量空間   的子集相等,而且帶有相同的代數結構,從而他們自然同構。
  3. ^ 法語俚語「pine」意為「penis」,進一步,當說「Pin 群有 2 部分」(偶部分 Spin 和奇部分)暗示了兩者近似的結構比較。[1]

參考文獻

  1. ^ Pertti Lounesto. Re: Math jokes (dirty): Explanation. Newsgroupsci.math. 04 Dec 1993 09:36:24 GMT [2007-11-27]. [email protected].