完全性 (统计学)

統計學名詞

统计学中, 完全性,又称完备性统计量的一个性质。 从本质上讲,它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量

定义

考虑一个随机变量   ,其概率分布    为参数。称一个统计量  完全的,若对任意可测函数  [1]

如果对所有   都有  ,则   对所有   都成立。

若对上述函数   加上有界的条件,则称该统计量为有界完全的

例子

 是来自参数为 伯努利分布的独立随机样本,其中 。统计量  的完全统计量。注意到 服从参数为  二项分布。若有某个 ,使得  都成立,则

 

 ,则多项式  上恒为0。可知其每一项系数都为0,进而得到 。由定义,  的完全统计量。

完全性的重要性

巴苏定理

界完全性出现在巴苏定理中,[2] 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

Bahadur定理

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出,当至少存在一个最小充分统计量时,如果一个统计量是充分的并且有界完全的,则它是一个最小充分统计量。

注释

  1. ^ Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University Press.
  2. ^ Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.

参考文献