布隆斯公式

布隆斯公式（英語：Bruns formula），也称布隆斯方程，是大地测量学中用于描述大地水准面高、扰动位和正常重力的关系式，由德国大地测量学家海因里希·布隆斯于1878年提出。

数学表达

设大地水准面有一点 $\mathbf {P}$ ，其沿法线投影到参考椭球面上的点为 $\mathbf {Q}$，则 $\mathbf {P}$ 点处的大地水准面高 $N$ 即为两点之间的距离 。又设 $\mathbf {P}$ 点处的扰动位为 $T$，计算得的 $\mathbf {Q}$ 点处的正常重力为 $\gamma$，则布隆斯公式可表达为：

$N={\frac {T}{\gamma }}$

在实际使用过程中，为简化计算，在不影响精度的情况下上式的 $\gamma$ 可以用正常重力的平均值 ${\bar {\gamma }}$ 代替。

推导过程

由于参考椭球面的正常重力位 $U$ 被定义成与其所对应的大地水准面的重力位 $W_{0}$ 相等，大地水准面上的点 $\mathbf {P}$ 及其在参考椭球面上的投影 $\mathbf {Q}$ 的重力位存在如下关系：

$W_{P}=U_{Q}=W_{0}$

重力位 $W_{P}$ 又可被分作正常重力位 $U_{P}$ 和扰动位 $T$ 两部分，即：

$W_{P}=U_{P}+T$

则扰动位 $T$ 可表示成点 $\mathbf {P}$ 和点 $\mathbf {Q}$ 的正常重力位之差，并进一步表示为点 $\mathbf {Q}$ 处正常重力的偏导数：

$T=U_{Q}-U_{P}=-{({\partial U \over \partial n})}_{Q}N=\gamma N$

上式中 $n$ 为参考椭球面的法线方向（也即大地水准面高 $N$ 的方向）。正常重力 $\gamma$ 的正向向下，因此符号为负。将上式变形即得：

$N={\frac {T}{\gamma }}$

参见

• 广义布隆斯方程
• 重力测量基本微分方程