数学上，普吕克坐标是将射影三维空间中的每条线给予6个齐次坐标，也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由尤利乌斯·普吕克于1844年给出。
令L为一直线，穿过点 p ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})} 和点 q ( y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) {\displaystyle q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})} 。
定义 p i j {\displaystyle p_{ij}} 为 ( x i x j y i y j ) = x i y j − x j y i {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}} 的行列式。
这蕴涵着 p i i = 0 {\displaystyle p_{ii}=0} 和 p i j = − p j i {\displaystyle p_{ij}=-p_{ji}} .
考虑六元组 ( p 01 , p 02 , p 03 , p 23 , p 31 , p 12 ) {\displaystyle (p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})} 。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有 ( x 0 x 1 x 2 x 3 y 0 y 1 y 2 y 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}} 的 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。
p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子，如下所示：
考虑 p ′ ( x 0 ′ , x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ) {\displaystyle p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})} 和 q ′ ( y 0 ′ , y 1 ′ , y 2 ′ , y 3 ′ ) {\displaystyle q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})} 为L上不同点，其中 x i ′ = k 1 x i + l 1 y i {\displaystyle x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1}y_{i}} 而 y i ′ = k 2 x i + l 2 y i {\displaystyle y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2}y_{i}} 。 p'和q'不同的假设归结为 k 1 l 2 − k 2 l 1 ≠ 0 {\displaystyle k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0} 。 可以检验： ( x i ′ x j ′ y i ′ y j ′ ) = ( k 1 l 1 k 2 l 2 ) ( x i x j y i y j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x'_{i}&x'_{j}\\y'_{i}&y'_{j}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}&l_{1}\\k_{2}&l_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}&x_{j}\\y_{i}&y_{j}\end{pmatrix}}} 这样， ( p 01 ′ , p 02 ′ , p 03 ′ , p 23 ′ , p 31 ′ , p 12 ′ ) = ( k 1 l 2 − k 2 l 1 ) ( p 01 , p 02 , p 03 , p 23 , p 31 , p 12 ) {\displaystyle (p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}
称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射 α {\displaystyle \alpha } ：从W到一个K上的5维射影空间： α : W → P G ( 5 , K ) : L → L α = ( p 01 , p 02 , p 03 , p 23 , p 31 , p 12 ) {\displaystyle \alpha :W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha }=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})}
和点
。
为
的行列式。
和
.
。不是所有6个都可以同时为0，因为如果是的话，所有
的
子矩阵都是零，则该矩阵最多秩为1，这个p及q为不同点的假设不符。
和
为L上不同点，其中
而
。 p'和q'不同的假设归结为
。 可以检验：
这样，
：从W到一个K上的5维射影空间：
