立方和是數學公式的一種,它屬於因式分解乘法公式恆等式,被普遍使用。立方和是指一個立方數,加上另一個立方數,即是它們的總和。公式如下:[1]

立方和的簡單圖解

立方和被因式分解後,答案分別包含二項式三項式,與立方差相同。

驗證

主驗證

驗證此公式,可透過因式分解,首先設以下公式:

 

然後代入:

 

透過因式分解,可得:

 
 

這樣便可驗證: 

和立方驗證

透過和立方可驗證立方和的原理:

 
 

那即是只要減去  便可得到立方和,可設:

 
右邊的方程  

運用因式分解的方法:

 
 
 
 

這樣便可驗證出: 

幾何驗證

 
圖象化 

透過繪立體的圖像,也可驗證立方和。[2] 根據右圖,設兩個立方,總和為:

 

把兩個立方體對角貼在一起,根據虛線,可間接得到:

 

要得到 ,可使用 的空白位置。該空白位置可分割為3個部分:

  •  
  •  
  •  

把三個部分加在一起,便得:

 
 

之後,把 減去它,便得:   上公式發現兩個數項皆有一個公因子,把它抽出,並得:

 

 可透過和平方公式,得到:

 
 

這樣便可證明 

反驗證

透過 也可反驗證立方和。

 
 
 
 

以上計算方法亦可簡化為一個表格:

 
x)      
       
       

這樣便可證明 

立方差

立方差也可以使用立方和來驗證,例如:

 

把兩個數項都轉為立方數:

 

運用負正得負,可得:

 

然後運用立方和,可得:

 
 

這個方法更可驗證到立方差的公式是 

兩組立方和的數

有些整數可以有兩個立方和組合,[3] 而最少的,已是過千的1729。它是兩組不同的立方和:

 
 

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104

 
 

首十個兩組立方和的數:1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见

參考文獻

  1. ^ Factorization of x^3 + y^3. Queen's College On The Web. [2018-10-16]. (原始内容存档于2021-02-06) (英语). 
  2. ^ History Dudeney Canterbury puzzles elliptic curves. [1994-11-12]. 原始内容存档于2007-08-08 (英语). 
  3. ^ The Hardy-Ramanujan Number. Jimloy.com. [2018-01-16]. (原始内容存档于2013-05-28) (英语).