可去奇点

在复分析中，一个全纯函数的可去奇点（removable singularity），有时称为装饰性奇点（cosmetic singularity）是这样的点，在此处函数表面上没有定义，但是通过细致地分析，函数的定义域可以扩大到该奇点，使得延拓后的函数仍然全纯。

例如函数：

f(z)={\frac {\sin z}{z}}

对 $z\neq 0$ 有一个奇点 $z=0$ 。藉由定义 $f(0)=1$ ，可將此奇点消去，並得到全純的 sinc函數。

确切地，如果 $U$ 是复平面 $\mathbb {C}$ 的一个开集， $a$ 是 $U$ 中一点， $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb {C}$ 是一个全纯函数，如果存在一个在 $U\backslash \{a\}$ 与 $f$ 相等的全纯函数 $g:U\to \mathbb {C}$ ，则 $a$ 称为 $f$ 的一个可去奇点。如果这样的 $g$ 存在，我们说 $f$ 在 $a$ 是可全纯延拓的。

黎曼定理

黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的：

定理：设 $D\subset \mathbb {C}$ 是复平面中的一个开集， $a\in D$ 是其内的一个点，并且 $f$ 是定义在集合 $D\backslash \{a\}$ 上的一个全纯函数。则下列情形是等价的：

i)

f

可全纯延拓到

a

。

ii)

f

可连续延拓到

a

。

iii) 存在

a

的一个邻域，在它上面

f

有界。

iv)

\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0

。

蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i)，我们首先回忆到一个函数在一点的全纯性等价于解析，即有一个幂级数表示。

定义： $h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}$

显然， $h$ 在 $D\backslash \{a\}$ 上是全纯的，并且由 iv)有

{\begin{aligned}h'(a):&=\lim _{z\to a}{\frac {h(z)-h(a)}{z-a}}=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}\\&=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0.\end{aligned}}

因此 $h$ 在整个 $D$ 上都全纯，从而有在 $a$ 的泰勒级数：

h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\cdots .

所以

g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}

是 $f$ 在 $a$ 的全纯延拓，这就证明了先前的断言。

其它类型奇点

不像实变量函数，全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点，即可去奇点，要么是如下两类居其一：

受黎曼定理启示，给定一个不可去奇点，我们可能问是否存在一个自然数 $m$ 使得 $\lim _{z\to a}(z-a)^{m+1}f(z)=0$ 。如果存在， $a$ 称为 $f$ 的一个极点，这样最小的 $m$ 称为 $a$ 的阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点。

如果 $f$ 的一个孤立奇点 $a$ 既非可去奇点也非极点，则称本性奇点。皮卡定理指出 $f$ 将任意穿孔开邻域 $U\backslash \{a\}$ 映满整个复平面，至多少一个可能的例外点。

参见