在複分析中,一個全純函數的可去奇異點(removable singularity),有時稱為裝飾性奇異點(cosmetic singularity)是這樣的點,在此處函數表面上沒有定義,但是通過細緻地分析,函數的定義域可以擴大到該奇異點,使得延拓後的函數仍然全純。
例如函數:
對 z ≠ 0 有一個奇異點 z = 0。藉由定義 f(0)=1,可將此奇異點消去,並得到全純的 sinc函數。
確切地,如果 U 是複數平面 C 的一個開集,a 是 U 中一點,f : U - {a} → C 是一個全純函數,如果存在一個在 U - {a} 與 f 相等的全純函數 g : U → C,則 a 稱為 f 的一個可去奇異點。如果這樣的 g 存在,我們說 f 在 a 是可全純延拓的。
黎曼定理
黎曼關於可去奇異點的定理指出了何時一個奇異點是可去的:
定理下列情形是等價的:
- i) f可全純延拓到a。
- ii) f可連續延拓到a。
- iii) 存在a的一個鄰域,在它上面 f 有界。
- iv) limz → a(z - a) f(z) = 0.
蘊含關係 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。為了證明 iv) ⇒ i),我們首先回憶到一個函數在a的全純性等價於解析,即有一個冪級數表示。定義
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則
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這裏由假設(z - a)f(z)可以視為一個D上的連續函數。換句話說,h在D上全純從而有在a的泰勒級數:
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所以
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是f在a的全純延拓,這就證明了先前的斷言。
其它類型奇異點
不像實變量函數,全純函數有足夠的剛性使得其孤立奇異點可完全分類。一個全純函數的奇異點要麼其實不是真正的奇異點,即可去奇異點,要麼是如下兩類居其一:
- 受黎曼定理啟示,給定一個不可去奇異點,我們可能問是否存在一個自然數 m 使得 limz → a(z - a)m+1f(z) = 0。如果存在,a 稱為 f 的一個極點,這樣最小的 m 稱為 a 的階數。所以可去奇異點恰好是零階極點。一個全純函數在極點附近一致發散到無窮遠點。
- 如果 f 的一個孤立奇異點 a 既非可去奇異點也非極點,則稱本性奇異點。皮卡定理指出 f 將任意穿孔開鄰域 U - {a} 映滿整個複數平面,至多少一個可能的例外點。
參見