可去奇異點

在複分析中，一個全純函數的可去奇異點（removable singularity），有時稱為裝飾性奇異點（cosmetic singularity）是這樣的點，在此處函數表面上沒有定義，但是通過細緻地分析，函數的定義域可以擴大到該奇異點，使得延拓後的函數仍然全純。

例如函數：

$f(z)={\frac {\sin z}{z}}$

對 $z\neq 0$ 有一個奇異點 $z=0$。藉由定義 $f(0)=1$，可將此奇異點消去，並得到全純的 sinc函數。

確切地，如果 $U$ 是複數平面 $\mathbb {C}$ 的一個開集，$a$ 是 $U$ 中一點，$f:U\backslash \{a\}\to \mathbb {C}$ 是一個全純函數，如果存在一個在 $U\backslash \{a\}$ 與 $f$ 相等的全純函數 $g:U\to \mathbb {C}$，則 $a$ 稱為 $f$ 的一個可去奇異點。如果這樣的 $g$ 存在，我們說 $f$ 在 $a$ 是可全純延拓的。

黎曼定理

黎曼關於可去奇異點的定理指出了何時一個奇異點是可去的：

定理： 設 $D\subset \mathbb {C}$ 是複數平面中的一個開集，$a\in D$ 是其內的一個點，並且 $f$ 是定義在集合 $D\backslash \{a\}$ 上的一個全純函數。則下列情形是等價的：

i) $f$ 可全純延拓到 $a$。

ii) $f$ 可連續延拓到 $a$。

iii) 存在 $a$ 的一個鄰域，在它上面 $f$ 有界。

iv) $\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0$。

蘊含關係 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。為了證明 iv) ⇒ i)，我們首先回憶到一個函數在一點的全純性等價於解析，即有一個冪級數表示。

定義：$h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\\\end{cases}}$

顯然， $h$ 在 $D\backslash \{a\}$ 上是全純的，並且由 iv)有

${\begin{aligned}h'(a):&=\lim _{z\to a}{\frac {h(z)-h(a)}{z-a}}=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}\\&=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0.\end{aligned}}$

因此 $h$ 在整個 $D$ 上都全純，從而有在 $a$ 的泰勒級數：

$h(z)=a_{2}(z-a)^{2}+a_{3}(z-a)^{3}+\cdots .$

所以

$g(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{2}}}$

是 $f$ 在 $a$ 的全純延拓，這就證明了先前的斷言。

其它類型奇異點

不像實變量函數，全純函數有足夠的剛性使得其孤立奇異點可完全分類。一個全純函數的奇異點要麼其實不是真正的奇異點，即可去奇異點，要麼是如下兩類居其一：

1. 受黎曼定理啟示，給定一個不可去奇異點，我們可能問是否存在一個自然數 $m$ 使得 $\lim _{z\to a}(z-a)^{m+1}f(z)=0$ 。如果存在，$a$ 稱為 $f$ 的一個極點，這樣最小的 $m$ 稱為 $a$ 的階數。所以可去奇異點恰好是零階極點。一個全純函數在極點附近一致發散到無窮遠點。

1. 如果 $f$ 的一個孤立奇異點 $a$ 既非可去奇異點也非極點，則稱本性奇異點。皮卡定理指出 $f$ 將任意穿孔開鄰域 $U\backslash \{a\}$ 映滿整個複數平面，至多少一個可能的例外點。

參見

• 解析容度
• 可去不連續點