数学中,极值点arguments of the maxima/minima,分别缩写为arg max/arg minargmax/argmin)是使函数输出值取得极值的输入点。[note 1]函数的自变量定义域上,因变量则在到达域上。

举例来说,上述未归一化和归一化的sinc函数的都是{0},因为两者都在时取得全局最大值1.

未归一化sinc函数(红)的arg min 约为{-4.49, 4.49},因为在处有两个全局最小值,约为-0.217。归一化sinc函数(蓝)的arg min约为{−1.43, 1.43},因为它们的全局最小值在处,尽管最小值相同。[1]

定义

给定任意集合X全序集Y与函数 ,则某子集 上的 定义为

 

 S在语境中明确,则通常省略S,如 也就是说, 是点x集合,使 到达函数最大值(若存在)。 可以是空集单元集,或包含多个元素。

凸分析变分分析中, (是广义实数)的情形时的定义略有不同。[2]这时,若f等同于S上的 ,则 (即 ),否则 定义如上,这时 也可以写成

 

这里要强调的是,这个涉及 的等式只有当fS上不等同于 时才成立。[2]

Arg min

 (或 )表示极小值点,定义与之类似。例如

 

是使函数值 取得极小值的点x。它是 的补算子。

 (是广义实数)的情形时,若fS上等同于 ,则 (即 ),否则 定义如上,这时它也满足

 [2]

例子与性质

例如,若 ,则f只有在 这一点上取最大值1。因此

 

 算子与 不同,给定相同的函数时,后者返回函数极大值,而不是使函数取得极大值的点。也就是说

  is the element in  

max可以是空集(这时极大值未定义),这与 相同;不同的是 可能不含多个元素。[note 2]例如,取   因为函数在 的每个元素上都取相同的值。

等价地,若Mf的极大值,则 是极大值的水平集

 

可以将其重排,得到简单的等式[note 3]

 

若极大值点只有一个,那么 应被视为一个点,而非点集。例如

 

(而非单元集 ),因为 的极大值25仅在 时取到。[note 4]而若在多个点上都取得极大值, 就应被视为点集。例如

 

因为maximum value of  的极大值1在 时取到。在整条实数线上

 因此是无限集。

函数不必达到极大值,因此 有时是空集。例如 ,因为 在实数线上无界。再举个例子, ,虽然 有界( ),但由极值定理闭区间上的连续实值函数必有极大值,因此有非空的 

另见

注释

  1. ^ 我们将输入(x)称作点(point),将输出(y)称作值(value),如临界点与临界值。
  2. ^ 由于 反对称性,函数至多有一个极大值。
  3. ^ 这是集合间的等式,更确切地说是Y的子集间的等式。
  4. ^ 注意 ,当且仅当 时取等。

参考文献

  1. ^ "The Unnormalized Sinc Function 互联网档案馆存檔,存档日期2017-02-15.", University of Sydney
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Rockafellar & Wets 2009,第1-37頁.

外部链接