微分几何中,焦散线(caustic)指由流形反射折射射线包络线。这与几何光学中的焦散现象有关。射线的来源可以是点(辐射点,radiant)或来自无穷远处某点的平行射线,这时要指定射线的方向向量。

和平行光线生成的反射焦散线。在一边,每个点都包含在3条射线中;另一边,每个点都包含在1条射线中。

一般来说,应用于辛几何奇点理论中的焦散线指拉格朗日映射的临界值集,其中拉格朗日子流形L辛流形M拉格朗日浸入是辛流形M拉格朗日纤维化。焦散是拉格朗日纤维化基空间B子集[1]

解释

 
射线经过非平面折射后,在许多光线交叉的地方会形成焦散线。

集中的光线(如阳光)会灼伤人。“焦散”(caustic)一词来自希腊语καυστός“烧焦”,途经拉丁语causticus“燃烧”。

光线照射在酒杯上时,就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影,也会产生弯曲的亮区。在理想情况下(包括平行光射入时)会产生肾形光斑。[2][3]光线穿过波浪照射在水体上时,通常会形成波纹状的焦散线。

彩虹是人们熟悉的另一种焦散现象。[4][5]雨滴对光的散射会使不同波长的光折射成半径不同的弧线,从而产生彩虹。

回光线

回光线(catacaustic)是反射的情形。

对于点光源,它是辐射点正交(orthotomic)的渐屈线

平面平行光源情况:假设方向向量是 ,镜面曲线参数化为 。某点的法向量为 ;方向向量的反射为(法向量需要特殊归一化处理)

 

将找到的反射向量的分量视作切线

 

使用最简单的包络线形式

 
 
 
 

这可能不美观,但 给出了 中的线性系统,因此获得回光线的参数是很简单的,用克莱姆法则就可以。

例子

令方向向量为(0,1),镜面为 

                     
 
 

 有解 ;即光线平行于抛物镜面的轴线进入,会通过焦点反射。

另见

参考文献

  1. ^ Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9. 
  2. ^ Circle Catacaustic页面存档备份,存于互联网档案馆). Wolfram MathWorld. Retrieved 2009-07-17.
  3. ^ Levi, Mark. Focusing on Nephroids. SIAM News. 2018-04-02 [2018-06-01]. (原始内容存档于2023-06-27). 
  4. ^ Rainbow caustics. [2024-01-09]. (原始内容存档于2013-04-19). 
  5. ^ Caustic fringes. [2024-01-09]. (原始内容存档于2012-06-12). 

外部链接