微分幾何中,焦散線(caustic)指由流形反射折射射線包絡線。這與幾何光學中的焦散現象有關。射線的來源可以是點(輻射點,radiant)或來自無窮遠處某點的平行射線,這時要指定射線的方向向量。

和平行光線生成的反射焦散線。在一邊,每個點都包含在3條射線中;另一邊,每個點都包含在1條射線中。

一般來說,應用於辛幾何奇點理論中的焦散線指拉格朗日映射的臨界值集,其中拉格朗日子流形L辛流形M拉格朗日浸入是辛流形M拉格朗日纖維化。焦散是拉格朗日纖維化基空間B子集[1]

解釋

 
射線經過非平面折射後,在許多光線交叉的地方會形成焦散線。

集中的光線(如陽光)會灼傷人。「焦散」(caustic)一詞來自希臘語καυστός「燒焦」,途經拉丁語causticus「燃燒」。

光線照射在酒杯上時,就會出現焦散現象。玻璃杯會投射出陰影,也會產生彎曲的亮區。在理想情況下(包括平行光射入時)會產生腎形光斑。[2][3]光線穿過波浪照射在水體上時,通常會形成波紋狀的焦散線。

彩虹是人們熟悉的另一種焦散現象。[4][5]雨滴對光的散射會使不同波長的光折射成半徑不同的弧線,從而產生彩虹。

回光線

回光線(catacaustic)是反射的情形。

對於點光源,它是輻射點正交(orthotomic)的漸屈線

平面平行光源情況:假設方向向量是 ,鏡面曲線參數化為 。某點的法向量為 ;方向向量的反射為(法向量需要特殊歸一化處理)

 

將找到的反射向量的分量視作切線

 

使用最簡單的包絡線形式

 
 
 
 

這可能不美觀,但 給出了 中的線性系統,因此獲得回光線的參數是很簡單的,用克萊姆法則就可以。

例子

令方向向量為(0,1),鏡面為 

                     
 
 

 有解 ;即光線平行於拋物鏡面的軸線進入,會通過焦點反射。

另見

參考文獻

  1. ^ Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9. 
  2. ^ Circle Catacaustic頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). Wolfram MathWorld. Retrieved 2009-07-17.
  3. ^ Levi, Mark. Focusing on Nephroids. SIAM News. 2018-04-02 [2018-06-01]. (原始內容存檔於2023-06-27). 
  4. ^ Rainbow caustics. [2024-01-09]. (原始內容存檔於2013-04-19). 
  5. ^ Caustic fringes. [2024-01-09]. (原始內容存檔於2012-06-12). 

外部連結