凸共轭

在数学中，凸共轭（英语：convex conjugate）是勒让德变换的一种推广；凸共轭也被称作勒让德-芬克尔变换（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-马里·勒让德和威尔纳·芬克尔命名。

定义

函数$f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$在扩展的实数轴上取值。

它的凸共轭定义为：$f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}$

这里，$X$表示实赋范向量空间，$X^{*}$表示$X$的对偶空间。

映射$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$表示一个二次型，满足：对于$X^{*}$（$X$）中任意非零元素$x^{*}$，总能在$X$（对应地，$X^{*}$）中找到一个元素$x$使得$\left\langle x^{*},x\right\rangle =0$。

例子

• 仿射变换$f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R}$；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}$

• 幂函数$f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty$；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty$ 这里 ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$

• 绝对值变换$f(x)=\left|x\right|$；它的凸共轭是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}$

• 指数函数

$f(x)=\,\!e^{x}$；它的凸共轭是： $f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}$

性质

逆序性

如果$f\leq g$，那么就有$g^{*}\geq f^{*}$。这里的$f\leq g$指，对定义域中所有元素$x$，都有$f(x)\leq g(x)$成立。

半连续性与两次凸共轭

函数$f$的凸共轭总具有半连续性，因此函数$f$的两次共轭$f^{**}$也具有半连续性。同时，$f^{**}$还是是闭凸包，也即最大的凸的半连续函数，满足$f^{**}\leq f$。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，对于合适的函数$f$， $f^{**}=f$ 当且仅当$f$是半连续的凸函数。

Fenchel不等式

$\left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)$ ， 这里$x\in X,p\in X^{*}$，$f^{*}$是$f$的凸共轭。

凸性

凸共轭算子自身是凸的，即：

取函数$f_{1},f_{2}$，$(0,1)$间任意实数$\lambda$，有：$\left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }$ 成立。

最小值卷积

对于两个函数f和g，它们的最小值卷积被定义为

$\left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$

如果 f₁, …, f_m 都是Rⁿ上的proper且凸且半连续的函数。那么它们的最小值卷积是凸且半连续的（但不一定proper），并且满足关系

$\left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.$

两个函数的最小值卷积具有几何意义。两个函数的最小值卷积的超图是这两个函数的超图的闵可夫斯基和