凸共軛

在數學中，凸共軛（英語：convex conjugate）是勒讓德變換的一種推廣；凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。

定義

函數$f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$在擴展的實數軸上取值。

它的凸共軛定義為：$f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}$

這裡，$X$表示實賦範向量空間，$X^{*}$表示$X$的對偶空間。

映射$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$表示一個二次型，滿足：對於$X^{*}$（$X$）中任意非零元素$x^{*}$，總能在$X$（對應地，$X^{*}$）中找到一個元素$x$使得$\left\langle x^{*},x\right\rangle =0$。

例子

• 仿射變換$f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R}$；它的凸共軛是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}$

• 冪函數$f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty$；它的凸共軛是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty$ 這裡 ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$

• 絕對值變換$f(x)=\left|x\right|$；它的凸共軛是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}$

• 指數函數

$f(x)=\,\!e^{x}$；它的凸共軛是： $f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}$

性質

逆序性

如果$f\leq g$，那麼就有$g^{*}\geq f^{*}$。這裡的$f\leq g$指，對定義域中所有元素$x$，都有$f(x)\leq g(x)$成立。

半連續性與兩次凸共軛

函數$f$的凸共軛總具有半連續性，因此函數$f$的兩次共軛$f^{**}$也具有半連續性。同時，$f^{**}$還是是閉凸包，也即最大的凸的半連續函數，滿足$f^{**}\leq f$。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，對於合適的函數$f$， $f^{**}=f$ 當且僅當$f$是半連續的凸函數。

Fenchel不等式

$\left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)$ ， 這裡$x\in X,p\in X^{*}$，$f^{*}$是$f$的凸共軛。

凸性

凸共軛算子自身是凸的，即：

取函數$f_{1},f_{2}$，$(0,1)$間任意實數$\lambda$，有：$\left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }$ 成立。

最小值卷積

對於兩個函數f和g，它們的最小值卷積被定義為

$\left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$

如果 f₁, …, f_m 都是Rⁿ上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的（但不一定proper），並且滿足關係

$\left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.$

兩個函數的最小值卷積具有幾何意義。兩個函數的最小值卷積的超圖是這兩個函數的超圖的閔可夫斯基和